Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constcncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constcncfg 39853
Description: A constant function is a continuous function on . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constcncfg.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
constcncfg.b (𝜑𝐵𝐶)
constcncfg.c (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
Assertion
Ref Expression
constcncfg (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem constcncfg
StepHypRef Expression
1 constcncfg.b . 2 (𝜑𝐵𝐶)
2 constcncfg.a . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
3 constcncfg.c . 2 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
4 cncfmptc 22708 . 2 ((𝐵𝐶𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
51, 2, 3, 4syl3anc 1325 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1989  wss 3572  cmpt 4727  (class class class)co 6647  cc 9931  cnccncf 22673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-fz 12324  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-rest 16077  df-topn 16078  df-topgen 16098  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-xms 22119  df-ms 22120  df-cncf 22675
This theorem is referenced by:  addccncf2  39858  negcncfg  39863  fprodcncf  39883  itgsinexplem1  39938  itgcoscmulx  39954  itgsincmulx  39959  itgiccshift  39965  itgperiod  39966  itgsbtaddcnst  39967  dirkeritg  40088  dirkercncflem2  40090  dirkercncflem4  40092  fourierdlem16  40109  fourierdlem18  40111  fourierdlem21  40114  fourierdlem22  40115  fourierdlem39  40132  fourierdlem40  40133  fourierdlem58  40150  fourierdlem59  40151  fourierdlem62  40154  fourierdlem68  40160  fourierdlem73  40165  fourierdlem76  40168  fourierdlem78  40170  fourierdlem83  40175  fourierdlem93  40185  fourierdlem111  40203  sqwvfoura  40214  sqwvfourb  40215  fouriersw  40217  etransclem18  40238  etransclem22  40242  etransclem34  40254  etransclem46  40266
  Copyright terms: Public domain W3C validator