Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constlimc 41781
Description: Limit of constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
constlimc.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
constlimc.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
constlimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
constlimc.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
constlimc (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem constlimc
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constlimc.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 1rp 12381 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ+)
4 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
5 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
6 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝐵
7 csbtt 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥𝐵) → 𝑣 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
85, 6, 7mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑣 / 𝑥𝐵 = 𝐵
98, 1eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐴) → 𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
11 constlimc.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
1211fvmpts 6764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣𝐴𝑣 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑣) = 𝑣 / 𝑥𝐵)
134, 10, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) = 𝑣 / 𝑥𝐵)
1413oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐵) = (𝑣 / 𝑥𝐵𝐵))
158oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 / 𝑥𝐵𝐵) = (𝐵𝐵)
1614, 15syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣𝐴) → ((𝐹𝑣) − 𝐵) = (𝐵𝐵))
1716fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐵)))
181subidd 10973 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
1918fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
2019adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘(𝐵𝐵)) = (abs‘0))
21 abs0 14633 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘0) = 0)
2317, 20, 223eqtrd 2857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = 0)
2423adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) = 0)
25 rpgt0 12389 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
2625ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → 0 < 𝑦)
2724, 26eqbrtrd 5079 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)
2827a1d 25 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣𝐴) → ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
2928ralrimiva 3179 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
30 brimralrspcev 5118 . . . 4 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 1) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
313, 29, 30syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
3231ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))
331adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3433, 11fmptd 6870 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
35 constlimc.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
36 constlimc.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3734, 35, 36ellimc3 24404 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑣𝐴 ((𝑣𝐶 ∧ (abs‘(𝑣𝐶)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑣) − 𝐵)) < 𝑦))))
381, 32, 37mpbir2and 709 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐹 lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  csb 3880  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581   lim climc 24387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cnp 21764  df-xms 22857  df-ms 22858  df-limc 24391
This theorem is referenced by:  reclimc  41810  fourierdlem53  42321  fourierdlem60  42328  fourierdlem61  42329  fourierdlem73  42341  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem76  42344  fouriersw  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator