MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3lem4 25941
Description: Lemma for constr3trl 25953 etc. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3lem4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))

Proof of Theorem constr3lem4
StepHypRef Expression
1 0z 11221 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 1z 11240 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
31, 2pm3.2i 469 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
5 3simpa 1050 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐴𝑉𝐵𝑉))
6 0ne1 10935 . . . . 5 0 ≠ 1
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ≠ 1)
8 fnprg 5847 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1})
94, 5, 7, 8syl3anc 1317 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1})
10 2z 11242 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
11 3nn0 11157 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
1210, 11pm3.2i 469 . . . . 5 (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0)
1312a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0))
14 pm3.22 463 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐶𝑉𝐴𝑉))
15143adant2 1072 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐶𝑉𝐴𝑉))
16 2re 10937 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
17 2lt3 11042 . . . . . 6 2 < 3
1816, 17ltneii 10001 . . . . 5 2 ≠ 3
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ≠ 3)
20 fnprg 5847 . . . 4 (((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (𝐶𝑉𝐴𝑉) ∧ 2 ≠ 3) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3})
2113, 15, 19, 20syl3anc 1317 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3})
22 0ne2 11086 . . . . 5 0 ≠ 2
23 1ne2 11087 . . . . 5 1 ≠ 2
24 3ne0 10962 . . . . . 6 3 ≠ 0
2524necomi 2835 . . . . 5 0 ≠ 3
26 1re 9895 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
27 1lt3 11043 . . . . . 6 1 < 3
2826, 27ltneii 10001 . . . . 5 1 ≠ 3
29 disjpr2 4193 . . . . 5 (((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) ∧ (0 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 3)) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
3022, 23, 25, 28, 29mp4an 704 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
3130a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
329, 21, 313jca 1234 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅))
33 constr3cycl.p . . . . . 6 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
3433fveq1i 6089 . . . . 5 (𝑃‘0) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0)
35 c0ex 9890 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3635prid1 4240 . . . . . . . . 9 0 ∈ {0, 1}
3736jctr 562 . . . . . . . 8 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1}))
38373anim3i 1242 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})))
3938adantr 479 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})))
40 fvun1 6164 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 0 ∈ {0, 1})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
4234, 41syl5eq 2655 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
43 fvpr1g 6341 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
441, 6, 43mp3an13 1406 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
45443ad2ant1 1074 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
4645adantl 480 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
4742, 46eqtrd 2643 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
4833fveq1i 6089 . . . . 5 (𝑃‘1) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1)
49 1ex 9891 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
5049prid2 4241 . . . . . . . . 9 1 ∈ {0, 1}
5150jctr 562 . . . . . . . 8 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1}))
52513anim3i 1242 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})))
5352adantr 479 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})))
54 fvun1 6164 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 1 ∈ {0, 1})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
5648, 55syl5eq 2655 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
57 fvpr2g 6342 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
5826, 6, 57mp3an13 1406 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
59583ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6059adantl 480 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6156, 60eqtrd 2643 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
6233fveq1i 6089 . . . . . 6 (𝑃‘2) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2)
63 2ex 10939 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
6463prid1 4240 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {2, 3}
6564jctr 562 . . . . . . . . 9 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3}))
66653anim3i 1242 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})))
6766adantr 479 . . . . . . 7 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})))
68 fvun2 6165 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 2 ∈ {2, 3})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
7062, 69syl5eq 2655 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘2) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2))
71 fvpr1g 6341 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑉 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
7210, 18, 71mp3an13 1406 . . . . . . 7 (𝐶𝑉 → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
73723ad2ant3 1076 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
7473adantl 480 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘2) = 𝐶)
7570, 74eqtrd 2643 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
7633fveq1i 6089 . . . . . 6 (𝑃‘3) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3)
77 3ex 10943 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ V
7877prid2 4241 . . . . . . . . . 10 3 ∈ {2, 3}
7978jctr 562 . . . . . . . . 9 (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3}))
80793anim3i 1242 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})))
8180adantr 479 . . . . . . 7 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})))
82 fvun2 6165 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ 3 ∈ {2, 3})) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
8381, 82syl 17 . . . . . 6 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
8476, 83syl5eq 2655 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘3) = ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3))
85 fvpr2g 6342 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0𝐴𝑉 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
8611, 18, 85mp3an13 1406 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
87863ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
8887adantl 480 . . . . 5 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}‘3) = 𝐴)
8984, 88eqtrd 2643 . . . 4 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑃‘3) = 𝐴)
9075, 89jca 552 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴))
9147, 61, 90jca31 554 . 2 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} Fn {0, 1} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} Fn {2, 3} ∧ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))
9232, 91mpancom 699 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cun 3537  cin 3538  c0 3873  {cpr 4126  {ctp 4128  cop 4130  ccnv 5027   Fn wfn 5785  cfv 5790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  2c2 10917  3c3 10918  0cn0 11139  cz 11210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211
This theorem is referenced by:  constr3lem6  25943  constr3trllem5  25948  constr3cycllem1  25952  constr3cyclp  25956
  Copyright terms: Public domain W3C validator