MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprm 16043
Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprm ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16007 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 gcddvds 15840 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31, 2sylan 580 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
43simprd 496 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5 breq1 5060 . . . . 5 ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑃𝑁))
64, 5syl5ibcom 246 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃𝑃𝑁))
76con3d 155 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8 0nnn 11661 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
9 prmnn 16006 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 eleq1 2897 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
119, 10syl5ibcom 246 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
128, 11mtoi 200 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
1312intnanrd 490 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15 gcdn0cl 15839 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
1615ex 413 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
171, 16sylan 580 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
1814, 17mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
193simpld 495 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20 isprm2 16014 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2120simprbi 497 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22 breq1 5060 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23 eqeq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24 eqeq1 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
2523, 24orbi12d 912 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
2622, 25imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2726rspcv 3615 . . . . . . 7 ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2821, 27syl5com 31 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
3018, 19, 29mp2d 49 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31 biorf 930 . . . . 5 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32 orcom 864 . . . . 5 (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
3331, 32syl6bb 288 . . . 4 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
3430, 33syl5ibrcom 248 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
357, 34syld 47 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36 iddvds 15611 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
371, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃𝑃)
39 dvdslegcd 15841 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4039ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41403anidm12 1411 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
421, 41sylan 580 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
4314, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4438, 43mpand 691 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45 prmgt1 16029 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4645adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47 1re 10629 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
481zred 12075 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4918nnred 11641 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50 ltletr 10720 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5147, 48, 49, 50mp3an2ani 1459 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5246, 51mpand 691 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53 ltne 10725 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5447, 53mpan 686 . . . . 5 (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5554a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5644, 52, 553syld 60 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5756necon2bd 3029 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃𝑁))
5835, 57impbid 213 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  cuz 12231  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  prmrp  16044  euclemma  16045  cncongrprm  16057  isoddgcd1  16059  phiprmpw  16101  fermltl  16109  prmdiv  16110  prmdiveq  16111  vfermltl  16126  prmpwdvds  16228  1259lem5  16456  2503lem3  16460  4001lem4  16465  gexexlem  18901  ablfac1lem  19119  ablfac1eu  19124  pgpfac1lem3  19128  perfect1  25731  perfectlem1  25732  perfectlem2  25733  lgslem1  25800  lgsprme0  25842  lgsqrlem2  25850  lgsqr  25854  gausslemma2dlem0c  25861  lgsquad2lem2  25888  2sqblem  25934  rpvmasumlem  25990  dchrisum0flblem2  26012  nn0prpwlem  33567  isodd7  43707  gcd2odd1  43710
  Copyright terms: Public domain W3C validator