MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds2 15415
Description: If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem coprmdvds2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 15029 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
213adant1 1099 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
32adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
4 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 simpl2 1085 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 zcn 11420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 zcn 11420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8 mulcom 10060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
96, 7, 8syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
104, 5, 9syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
1110breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥)))
12 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
13 simpl1 1084 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 coprmdvds 15413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀𝑥))
1513, 5, 4, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀𝑥))
1612, 15mpan2d 710 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) → 𝑀𝑥))
1711, 16sylbid 230 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → 𝑀𝑥))
18 dvdsmulc 15056 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
1913, 4, 5, 18syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
2017, 19syld 47 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
21 breq2 4689 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀𝐾))
22 breq2 4689 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))
2321, 22imbi12d 333 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)) ↔ (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2420, 23syl5ibcom 235 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2524anassrs 681 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2625rexlimdva 3060 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
273, 26sylbid 230 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2827com23 86 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑀𝐾 → (𝑁𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2928impd 446 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   · cmul 9979  cz 11415  cdvds 15027   gcd cgcd 15263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  15417  coprmproddvdslem  15423  crth  15530  odadd2  18298  ablfac1b  18515  ablfac1eu  18518
  Copyright terms: Public domain W3C validator