MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvdsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvdsOLD 15291
Description: If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) Obsolete version of coprmdvds 15290 as of 10-Jul-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvdsOLD ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾𝑁))

Proof of Theorem coprmdvdsOLD
StepHypRef Expression
1 zcn 11326 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2 zcn 11326 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3 mulcom 9966 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
41, 2, 3syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
543adant1 1077 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
65breq2d 4625 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)))
7 dvdsmul2 14928 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾))
87ancoms 469 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾))
983adant2 1078 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾))
10 simp1 1059 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
11 zmulcl 11370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
1211ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
13123adant2 1078 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ)
14 zmulcl 11370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
1514ancoms 469 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
16153adant1 1077 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 15185 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾) ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑁 · 𝐾) ∧ 𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀)) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
199, 18mpand 710 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑁 · 𝑀) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
206, 19sylbid 230 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
2120adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀))))
22 absmulgcd 15190 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))))
23223coml 1269 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))))
2423adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))))
25 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀)) = (𝑁 · 1))
262mulid1d 10001 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2725, 26sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀)) = 𝑁)
2827fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))) = (abs‘𝑁))
29283ad2antl3 1223 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (abs‘(𝑁 · (𝐾 gcd 𝑀))) = (abs‘𝑁))
3024, 29eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) = (abs‘𝑁))
3130breq2d 4625 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) ↔ 𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
32 dvdsabsb 14925 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
33323adant2 1078 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
3433adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾𝑁𝐾 ∥ (abs‘𝑁)))
3531, 34bitr4d 271 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ ((𝑁 · 𝐾) gcd (𝑁 · 𝑀)) ↔ 𝐾𝑁))
3621, 35sylibd 229 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾𝑁))
3736ex 450 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾𝑁)))
3837com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → 𝐾𝑁)))
3938impd 447 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   · cmul 9885  cz 11321  abscabs 13908  cdvds 14907   gcd cgcd 15140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator