MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmproddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmproddvds 15164
Description: If a positive integer is divisible by each element of a set of pairwise coprime positive integers, then it is divisible by their product. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvds (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝑚,𝐾   𝑚,𝑀,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem coprmproddvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cleq1lem 13518 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ (∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
2 difeq1 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∖ {𝑚}) = (∅ ∖ {𝑚}))
32raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
43raleqbi1dv 3123 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
5 raleq 3115 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
64, 5anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
71, 6anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ ((∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
8 prodeq1 14427 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚))
98breq1d 4588 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
107, 9imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (((∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
11 cleq1lem 13518 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ (𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
12 difeq1 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ {𝑚}) = (𝑦 ∖ {𝑚}))
1312raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
1413raleqbi1dv 3123 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
15 raleq 3115 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
1614, 15anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
1711, 16anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
18 prodeq1 14427 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚))
1918breq1d 4588 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
2017, 19imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
21 cleq1lem 13518 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
22 difeq1 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∖ {𝑚}) = ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚}))
2322raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
2423raleqbi1dv 3123 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
25 raleq 3115 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
2624, 25anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
2721, 26anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
28 prodeq1 14427 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚))
2928breq1d 4588 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
3027, 29imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
31 cleq1lem 13518 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ (𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
32 difeq1 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∖ {𝑚}) = (𝑀 ∖ {𝑚}))
3332raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
3433raleqbi1dv 3123 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
35 raleq 3115 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
3634, 35anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
3731, 36anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ ((𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
38 prodeq1 14427 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚))
3938breq1d 4588 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
4037, 39imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
41 prod0 14461 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) = 1
42 nnz 11235 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
43 1dvds 14783 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐾)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝐾)
4541, 44syl5eqbr 4613 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
4746ad2antlr 759 . . . . 5 (((∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
48 coprmproddvdslem 15163 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
4910, 20, 30, 40, 47, 48findcard2s 8064 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin → (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
5049exp4c 634 . . 3 (𝑀 ∈ Fin → (𝑀 ⊆ ℕ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ((∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
5150impcom 445 . 2 ((𝑀 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ((∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
52513imp 1249 1 (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cdif 3537  cun 3538  wss 3540  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4578  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  1c1 9794  cn 10870  cz 11213  cprod 14423  cdvds 14770   gcd cgcd 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-prod 14424  df-dvds 14771  df-gcd 15004
This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  15538
  Copyright terms: Public domain W3C validator