MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos01gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos01gt0 14965
Description: The cosine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos01gt0 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cos01gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 10124 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
2 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
3 elioc2 12274 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 708 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 1096 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
65resqcld 13075 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
76recnd 10106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8 2cn 11129 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
9 3cn 11133 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
10 3ne0 11153 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
119, 10pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
12 div12 10745 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
138, 11, 12mp3an13 1455 . . . . . 6 ((𝐴↑2) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
147, 13syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) = ((𝐴↑2) · (2 / 3)))
15 2z 11447 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 expgt0 12933 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
1715, 16mp3an2 1452 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑2))
18173adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑2))
194, 18sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑2))
20 2lt3 11233 . . . . . . . . . 10 2 < 3
21 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
22 3re 11132 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
23 3pos 11152 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2421, 22, 22, 23ltdiv1ii 10991 . . . . . . . . . 10 (2 < 3 ↔ (2 / 3) < (3 / 3))
2520, 24mpbi 220 . . . . . . . . 9 (2 / 3) < (3 / 3)
269, 10dividi 10796 . . . . . . . . 9 (3 / 3) = 1
2725, 26breqtri 4710 . . . . . . . 8 (2 / 3) < 1
2821, 22, 10redivcli 10830 . . . . . . . . 9 (2 / 3) ∈ ℝ
29 ltmul2 10912 . . . . . . . . 9 (((2 / 3) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2))) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3028, 2, 29mp3an12 1454 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((2 / 3) < 1 ↔ ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1)))
3127, 30mpbii 223 . . . . . . 7 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑2)) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
326, 19, 31syl2anc 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < ((𝐴↑2) · 1))
337mulid1d 10095 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · 1) = (𝐴↑2))
3432, 33breqtrd 4711 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) · (2 / 3)) < (𝐴↑2))
3514, 34eqbrtrd 4707 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2))
36 0re 10078 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
37 ltle 10164 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3836, 37mpan 706 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3938imdistani 726 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
40 le2sq2 12979 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 1)) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
412, 40mpanr1 719 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
4239, 41stoic3 1741 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
434, 42sylbi 207 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ (1↑2))
44 sq1 12998 . . . . 5 (1↑2) = 1
4543, 44syl6breq 4726 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑2) ≤ 1)
46 redivcl 10782 . . . . . . . 8 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
4722, 10, 46mp3an23 1456 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) ∈ ℝ → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
486, 47syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ)
49 remulcl 10059 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑2) / 3) ∈ ℝ) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
5021, 48, 49sylancr 696 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ)
51 ltletr 10167 . . . . . 6 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
522, 51mp3an3 1453 . . . . 5 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℝ) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5350, 6, 52syl2anc 694 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < (𝐴↑2) ∧ (𝐴↑2) ≤ 1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1))
5435, 45, 53mp2and 715 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1)
55 posdif 10559 . . . 4 (((2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5650, 2, 55sylancl 695 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((2 · ((𝐴↑2) / 3)) < 1 ↔ 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3)))))
5754, 56mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))))
58 cos01bnd 14960 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < (1 − ((𝐴↑2) / 3))))
5958simpld 474 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴))
60 resubcl 10383 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝐴↑2) / 3)) ∈ ℝ) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
612, 50, 60sylancr 696 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ)
625recoscld 14918 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
63 lttr 10152 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6436, 63mp3an1 1451 . . 3 (((1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6561, 62, 64syl2anc 694 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) ∧ (1 − (2 · ((𝐴↑2) / 3))) < (cos‘𝐴)) → 0 < (cos‘𝐴)))
6657, 59, 65mp2and 715 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  cz 11415  (,]cioc 12214  cexp 12900  cosccos 14839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-cos 14845
This theorem is referenced by:  sin02gt0  14966  sincos1sgn  14967  tangtx  24302
  Copyright terms: Public domain W3C validator