MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cos2bnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cos2bnd 14703
Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos2bnd (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd
StepHypRef Expression
1 7cn 10951 . . . . . 6 7 ∈ ℂ
2 9cn 10955 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
3 9re 10954 . . . . . . 7 9 ∈ ℝ
4 9pos 10969 . . . . . . 7 0 < 9
53, 4gt0ne0ii 10413 . . . . . 6 9 ≠ 0
6 divneg 10568 . . . . . 6 ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
71, 2, 5, 6mp3an 1415 . . . . 5 -(7 / 9) = (-7 / 9)
8 2cn 10938 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
92, 5pm3.2i 469 . . . . . . 7 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10 divsubdir 10570 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
118, 2, 9, 10mp3an 1415 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
122, 8negsubdi2i 10218 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = (2 − 9)
13 7p2e9 11019 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
142, 8, 1subadd2i 10220 . . . . . . . . . 10 ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
1513, 14mpbir 219 . . . . . . . . 9 (9 − 2) = 7
1615negeqi 10125 . . . . . . . 8 -(9 − 2) = -7
1712, 16eqtr3i 2633 . . . . . . 7 (2 − 9) = -7
1817oveq1i 6537 . . . . . 6 ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
1911, 18eqtr3i 2633 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
202, 5dividi 10607 . . . . . 6 (9 / 9) = 1
2120oveq2i 6538 . . . . 5 ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
227, 19, 213eqtr2ri 2638 . . . 4 ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23 ax-1cn 9850 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
248, 23, 2, 5divassi 10630 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25 2t1e2 11023 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
2625oveq1i 6537 . . . . . . 7 ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
2724, 26eqtr3i 2633 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28 3cn 10942 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
29 3ne0 10962 . . . . . . . . . 10 3 ≠ 0
3023, 28, 29sqdivi 12765 . . . . . . . . 9 ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31 sq1 12775 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
32 sq3 12778 . . . . . . . . . 10 (3↑2) = 9
3331, 32oveq12i 6539 . . . . . . . . 9 ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
3430, 33eqtri 2631 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35 cos1bnd 14702 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
3635simpli 472 . . . . . . . . 9 (1 / 3) < (cos‘1)
37 0le1 10400 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 3pos 10961 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
39 1re 9895 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
40 3re 10941 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
4139, 40divge0i 10782 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
4237, 38, 41mp2an 703 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 3)
43 0re 9896 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
44 recoscl 14656 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
4539, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘1) ∈ ℝ
4640, 29rereccli 10639 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℝ
4743, 46, 45lelttri 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
4842, 36, 47mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 0 < (cos‘1)
4943, 45, 48ltleii 10011 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (cos‘1)
5046, 45lt2sqi 12769 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
5142, 49, 50mp2an 703 . . . . . . . . 9 ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
5236, 51mpbi 218 . . . . . . . 8 ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
5334, 52eqbrtrri 4600 . . . . . . 7 (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54 2pos 10959 . . . . . . . 8 0 < 2
553, 5rereccli 10639 . . . . . . . . 9 (1 / 9) ∈ ℝ
5645resqcli 12766 . . . . . . . . 9 ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57 2re 10937 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
5855, 56, 57ltmul2i 10794 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
6053, 59mpbi 218 . . . . . 6 (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6127, 60eqbrtrri 4600 . . . . 5 (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
6257, 3, 5redivcli 10641 . . . . . 6 (2 / 9) ∈ ℝ
6357, 56remulcli 9910 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64 ltsub1 10373 . . . . . 6 (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
6562, 63, 39, 64mp3an 1415 . . . . 5 ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
6661, 65mpbi 218 . . . 4 ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6722, 66eqbrtrri 4600 . . 3 -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
6825fveq2i 6091 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69 cos2t 14693 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
7023, 69ax-mp 5 . . . 4 (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7168, 70eqtr3i 2633 . . 3 (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
7267, 71breqtrri 4604 . 2 -(7 / 9) < (cos‘2)
7335simpri 476 . . . . . . . . 9 (cos‘1) < (2 / 3)
74 0le2 10958 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
7557, 40divge0i 10782 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
7674, 38, 75mp2an 703 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (2 / 3)
7757, 40, 29redivcli 10641 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℝ
7845, 77lt2sqi 12769 . . . . . . . . . 10 ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
7949, 76, 78mp2an 703 . . . . . . . . 9 ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
8073, 79mpbi 218 . . . . . . . 8 ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
818, 28, 29sqdivi 12765 . . . . . . . . 9 ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82 sq2 12777 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
8382, 32oveq12i 6539 . . . . . . . . 9 ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
8481, 83eqtri 2631 . . . . . . . 8 ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
8580, 84breqtri 4602 . . . . . . 7 ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86 4re 10944 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
8786, 3, 5redivcli 10641 . . . . . . . . 9 (4 / 9) ∈ ℝ
8856, 87, 57ltmul2i 10794 . . . . . . . 8 (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
8954, 88ax-mp 5 . . . . . . 7 (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
9085, 89mpbi 218 . . . . . 6 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91 4cn 10945 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
928, 91, 2, 5divassi 10630 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93 4t2e8 11028 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
9491, 8, 93mulcomli 9903 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
9594oveq1i 6537 . . . . . . 7 ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
9692, 95eqtr3i 2633 . . . . . 6 (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
9790, 96breqtri 4602 . . . . 5 (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98 8re 10952 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
9998, 3, 5redivcli 10641 . . . . . 6 (8 / 9) ∈ ℝ
100 ltsub1 10373 . . . . . 6 (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
10163, 99, 39, 100mp3an 1415 . . . . 5 ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
10297, 101mpbi 218 . . . 4 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
10320oveq2i 6538 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104 divneg 10568 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
10523, 2, 5, 104mp3an 1415 . . . . . 6 -(1 / 9) = (-1 / 9)
106 8cn 10953 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
1072, 106negsubdi2i 10218 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = (8 − 9)
108 8p1e9 11005 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
1092, 106, 23, 108subaddrii 10221 . . . . . . . . 9 (9 − 8) = 1
110109negeqi 10125 . . . . . . . 8 -(9 − 8) = -1
111107, 110eqtr3i 2633 . . . . . . 7 (8 − 9) = -1
112111oveq1i 6537 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113 divsubdir 10570 . . . . . . 7 ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114106, 2, 9, 113mp3an 1415 . . . . . 6 ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115105, 112, 1143eqtr2ri 2638 . . . . 5 ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116103, 115eqtr3i 2633 . . . 4 ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117102, 116breqtri 4602 . . 3 ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
11871, 117eqbrtri 4598 . 2 (cos‘2) < -(1 / 9)
11972, 118pm3.2i 469 1 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  7c7 10922  8c8 10923  9c9 10924  cexp 12677  cosccos 14580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  14709
  Copyright terms: Public domain W3C validator