Theorem cos2bnd 15543

Description: Bounds on the cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2bnd	⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Proof of Theorem cos2bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7cn 11734	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
2		9cn 11740	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
3		9re 11739	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
4		9pos 11753	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 9
5	3, 4	gt0ne0ii 11178	. . . . . 6 ⊢ 9 ≠ 0
6		divneg 11334	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(7 / 9) = (-7 / 9))
7	1, 2, 5, 6	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ -(7 / 9) = (-7 / 9)
8		2cn 11715	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
9	2, 5	pm3.2i 473	. . . . . . 7 ⊢ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
10		divsubdir 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9)))
11	8, 2, 9, 10	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = ((2 / 9) − (9 / 9))
12	2, 8	negsubdi2i 10974	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = (2 − 9)
13		7p2e9 11801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
14	2, 8, 1	subadd2i 10976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((9 − 2) = 7 ↔ (7 + 2) = 9)
15	13, 14	mpbir 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 2) = 7
16	15	negeqi 10881	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 2) = -7
17	12, 16	eqtr3i 2848	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 9) = -7
18	17	oveq1i 7168	. . . . . 6 ⊢ ((2 − 9) / 9) = (-7 / 9)
19	11, 18	eqtr3i 2848	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = (-7 / 9)
20	2, 5	dividi 11375	. . . . . 6 ⊢ (9 / 9) = 1
21	20	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) − (9 / 9)) = ((2 / 9) − 1)
22	7, 19, 21	3eqtr2ri 2853	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) = -(7 / 9)
23		ax-1cn 10597	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	8, 23, 2, 5	divassi 11398	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 · (1 / 9))
25		2t1e2 11803	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
26	25	oveq1i 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / 9) = (2 / 9)
27	24, 26	eqtr3i 2848	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) = (2 / 9)
28		3cn 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
29		3ne0 11746	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
30	23, 28, 29	sqdivi 13551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3)↑2) = ((1↑2) / (3↑2))
31		sq1 13561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
32		sq3 13564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
33	31, 32	oveq12i 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1↑2) / (3↑2)) = (1 / 9)
34	30, 33	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) = (1 / 9)
35		cos1bnd 15542	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
36	35	simpli 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
37		0le1 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		3pos 11745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
39		1re 10643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
40		3re 11720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
41	39, 40	divge0i 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 1 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (1 / 3))
42	37, 38, 41	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
43		0re 10645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
44		recoscl 15496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ → (cos‘1) ∈ ℝ)
45	39, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘1) ∈ ℝ
46	40, 29	rereccli 11407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
47	43, 46, 45	lelttri 10769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ (1 / 3) < (cos‘1)) → 0 < (cos‘1))
48	42, 36, 47	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < (cos‘1)
49	43, 45, 48	ltleii 10765	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (cos‘1)
50	46, 45	lt2sqi 13555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (1 / 3) ∧ 0 ≤ (cos‘1)) → ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)))
51	42, 49, 50	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ↔ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2))
52	36, 51	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3)↑2) < ((cos‘1)↑2)
53	34, 52	eqbrtrri 5091	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 9) < ((cos‘1)↑2)
54		2pos 11743	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
55	3, 5	rereccli 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 9) ∈ ℝ
56	45	resqcli 13552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1)↑2) ∈ ℝ
57		2re 11714	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
58	55, 56, 57	ltmul2i 11563	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))))
59	54, 58	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 9) < ((cos‘1)↑2) ↔ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2)))
60	53, 59	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (2 · (1 / 9)) < (2 · ((cos‘1)↑2))
61	27, 60	eqbrtrri 5091	. . . . 5 ⊢ (2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2))
62	57, 3, 5	redivcli 11409	. . . . . 6 ⊢ (2 / 9) ∈ ℝ
63	57, 56	remulcli 10659	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ
64		ltsub1 11138	. . . . . 6 ⊢ (((2 / 9) ∈ ℝ ∧ (2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)))
65	62, 63, 39, 64	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((2 / 9) < (2 · ((cos‘1)↑2)) ↔ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
66	61, 65	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ((2 / 9) − 1) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
67	22, 66	eqbrtrri 5091	. . 3 ⊢ -(7 / 9) < ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
68	25	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = (cos‘2)
69		cos2t 15533	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1))
70	23, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (cos‘(2 · 1)) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
71	68, 70	eqtr3i 2848	. . 3 ⊢ (cos‘2) = ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1)
72	67, 71	breqtrri 5095	. 2 ⊢ -(7 / 9) < (cos‘2)
73	35	simpri 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
74		0le2 11742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
75	57, 40	divge0i 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ≤ 2 ∧ 0 < 3) → 0 ≤ (2 / 3))
76	74, 38, 75	mp2an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (2 / 3)
77	57, 40, 29	redivcli 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
78	45, 77	lt2sqi 13555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ≤ (cos‘1) ∧ 0 ≤ (2 / 3)) → ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)))
79	49, 76, 78	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘1) < (2 / 3) ↔ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2))
80	73, 79	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘1)↑2) < ((2 / 3)↑2)
81	8, 28, 29	sqdivi 13551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3)↑2) = ((2↑2) / (3↑2))
82		sq2 13563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑2) = 4
83	82, 32	oveq12i 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑2) / (3↑2)) = (4 / 9)
84	81, 83	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 / 3)↑2) = (4 / 9)
85	80, 84	breqtri 5093	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘1)↑2) < (4 / 9)
86		4re 11724	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
87	86, 3, 5	redivcli 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 / 9) ∈ ℝ
88	56, 87, 57	ltmul2i 11563	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < 2 → (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))))
89	54, 88	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘1)↑2) < (4 / 9) ↔ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9)))
90	85, 89	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (2 · (4 / 9))
91		4cn 11725	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	8, 91, 2, 5	divassi 11398	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (2 · (4 / 9))
93		4t2e8 11808	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
94	91, 8, 93	mulcomli 10652	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
95	94	oveq1i 7168	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) / 9) = (8 / 9)
96	92, 95	eqtr3i 2848	. . . . . 6 ⊢ (2 · (4 / 9)) = (8 / 9)
97	90, 96	breqtri 5093	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9)
98		8re 11736	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
99	98, 3, 5	redivcli 11409	. . . . . 6 ⊢ (8 / 9) ∈ ℝ
100		ltsub1 11138	. . . . . 6 ⊢ (((2 · ((cos‘1)↑2)) ∈ ℝ ∧ (8 / 9) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)))
101	63, 99, 39, 100	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) < (8 / 9) ↔ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1))
102	97, 101	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < ((8 / 9) − 1)
103	20	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = ((8 / 9) − 1)
104		divneg 11334	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0) → -(1 / 9) = (-1 / 9))
105	23, 2, 5, 104	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ -(1 / 9) = (-1 / 9)
106		8cn 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
107	2, 106	negsubdi2i 10974	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = (8 − 9)
108		8p1e9 11790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
109	2, 106, 23, 108	subaddrii 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 − 8) = 1
110	109	negeqi 10881	. . . . . . . 8 ⊢ -(9 − 8) = -1
111	107, 110	eqtr3i 2848	. . . . . . 7 ⊢ (8 − 9) = -1
112	111	oveq1i 7168	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = (-1 / 9)
113		divsubdir 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 9 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9)))
114	106, 2, 9, 113	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ ((8 − 9) / 9) = ((8 / 9) − (9 / 9))
115	105, 112, 114	3eqtr2ri 2853	. . . . 5 ⊢ ((8 / 9) − (9 / 9)) = -(1 / 9)
116	103, 115	eqtr3i 2848	. . . 4 ⊢ ((8 / 9) − 1) = -(1 / 9)
117	102, 116	breqtri 5093	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘1)↑2)) − 1) < -(1 / 9)
118	71, 117	eqbrtri 5089	. 2 ⊢ (cos‘2) < -(1 / 9)
119	72, 118	pm3.2i 473	1 ⊢ (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  7c7 11700  8c8 11701  9c9 11702  ↑cexp 13432  cosccos 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  15549