MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosordlem 24181
Description: Lemma for cosord 24182. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]π))
cosord.2 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]π))
cosord.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cosordlem (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]π))
2 0re 9984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 pire 24114 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
42, 3elicc2i 12181 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
51, 4sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
65simp1d 1071 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 10012 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 cosord.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]π))
92, 3elicc2i 12181 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
108, 9sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1110simp1d 1071 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 10012 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 subcos 14830 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))))
147, 12, 13syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))))
15 2re 11034 . . . . 5 2 ∈ ℝ
16 2pos 11056 . . . . 5 0 < 2
1715, 16elrpii 11779 . . . 4 2 ∈ ℝ+
186, 11readdcld 10013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 11223 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
2019resincld 14798 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
212a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2210simp2d 1072 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
23 cosord.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2421, 11, 6, 22, 23lelttrd 10139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐵)
25 addgtge0 10460 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (𝐵 + 𝐴))
266, 11, 24, 22, 25syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵 + 𝐴))
27 divgt0 10835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
2815, 16, 27mpanr12 720 . . . . . . . . 9 (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
2918, 26, 28syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
303a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3111, 6, 6, 23ltadd2dd 10140 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 𝐵))
3272timesd 11219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3331, 32breqtrrd 4641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵))
3415a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3516a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
36 ltdivmul 10842 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
3718, 6, 34, 35, 36syl112anc 1327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
3833, 37mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵)
395simp3d 1073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≤ π)
4019, 6, 30, 38, 39ltletrd 10141 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)
41 0xr 10030 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
423rexri 10041 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
43 elioo2 12158 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)))
4441, 42, 43mp2an 707 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π))
4519, 29, 40, 44syl3anbrc 1244 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
46 sinq12gt0 24163 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
4820, 47elrpd 11813 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
496, 11resubcld 10402 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
5049rehalfcld 11223 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5150resincld 14798 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝐵𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
5211, 6posdifd 10558 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
5323, 52mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
54 divgt0 10835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
5515, 16, 54mpanr12 720 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
5649, 53, 55syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
57 rehalfcl 11202 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
583, 57mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π / 2) ∈ ℝ)
596, 11subge02d 10563 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵𝐴) ≤ 𝐵))
6022, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ 𝐵)
6149, 6, 30, 60, 39letrd 10138 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ π)
62 lediv1 10832 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐵𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
6349, 30, 34, 35, 62syl112anc 1327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
6461, 63mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2))
65 pirp 24117 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
66 rphalflt 11804 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6765, 66mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π / 2) < π)
6850, 58, 30, 64, 67lelttrd 10139 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) < π)
69 elioo2 12158 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝐴) / 2) ∧ ((𝐵𝐴) / 2) < π)))
7041, 42, 69mp2an 707 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝐴) / 2) ∧ ((𝐵𝐴) / 2) < π))
7150, 56, 68, 70syl3anbrc 1244 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
72 sinq12gt0 24163 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))
7371, 72syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))
7451, 73elrpd 11813 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘((𝐵𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
7548, 74rpmulcld 11832 . . . 4 (𝜑 → ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
76 rpmulcl 11799 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7717, 75, 76sylancr 694 . . 3 (𝜑 → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7814, 77eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+)
796recoscld 14799 . . 3 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
8011recoscld 14799 . . 3 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
81 difrp 11812 . . 3 (((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
8279, 80, 81syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
8378, 82mpbird 247 1 (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  sincsin 14719  cosccos 14720  πcpi 14722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  cosord  24182
  Copyright terms: Public domain W3C validator