Theorem cossex 35658

Description: If 𝐴 is a set then the class of cosets by 𝐴 is a set. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cossex	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cossex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoss3 35656	. 2 ⊢ ≀ 𝐴 = (𝐴 ∘ ◡𝐴)
2		cnvexg 7623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)
3		coexg 7628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∘ ◡𝐴) ∈ V)
5	1, 4	eqeltrid 2917	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ≀ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495  ^◡ccnv 5549   ∘ ccom 5554   ≀ ccoss 35447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-coss 35653

This theorem is referenced by:  cosscnvex  35659  1cosscnvepresex  35660  1cossxrncnvepresex  35661  cosselrels  35730  elfunsALTVfunALTV  35924