Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cotrclrtrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cotrclrtrcl 38536
Description: Composition with the reflexive-transitive closure absorbs the transitive closure. (Contributed by RP, 13-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cotrclrtrcl (t+ ∘ t*) = t*

Proof of Theorem cotrclrtrcl
StepHypRef Expression
1 cotrclrcl 38534 . . . 4 (t+ ∘ r*) = t*
21eqcomi 2767 . . 3 t* = (t+ ∘ r*)
32coeq2i 5436 . 2 (t+ ∘ t*) = (t+ ∘ (t+ ∘ r*))
4 coass 5813 . . . 4 ((t+ ∘ t+) ∘ r*) = (t+ ∘ (t+ ∘ r*))
54eqcomi 2767 . . 3 (t+ ∘ (t+ ∘ r*)) = ((t+ ∘ t+) ∘ r*)
6 cotrcltrcl 38517 . . . . 5 (t+ ∘ t+) = t+
76coeq1i 5435 . . . 4 ((t+ ∘ t+) ∘ r*) = (t+ ∘ r*)
87, 1eqtri 2780 . . 3 ((t+ ∘ t+) ∘ r*) = t*
95, 8eqtri 2780 . 2 (t+ ∘ (t+ ∘ r*)) = t*
103, 9eqtri 2780 1 (t+ ∘ t*) = t*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  ccom 5268  t+ctcl 13923  t*crtcl 13924  r*crcl 38464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-seq 12994  df-trcl 13925  df-rtrcl 13926  df-relexp 13958  df-rcl 38465
This theorem is referenced by:  cortrclrtrcl  38537
  Copyright terms: Public domain W3C validator