Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  counop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem counop 28626
 Description: The composition of two unitary operators is unitary. (Contributed by NM, 22-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
counop ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)

Proof of Theorem counop
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unopf1o 28621 . . . 4 (𝑆 ∈ UniOp → 𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
2 unopf1o 28621 . . . 4 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ)
3 f1oco 6116 . . . 4 ((𝑆: ℋ–1-1-onto→ ℋ ∧ 𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
41, 2, 3syl2an 494 . . 3 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ)
5 f1ofo 6101 . . 3 ((𝑆𝑇): ℋ–1-1-onto→ ℋ → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
64, 5syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ)
7 f1of 6094 . . . . . . . 8 (𝑇: ℋ–1-1-onto→ ℋ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ UniOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
98adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
10 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
11 fvco3 6232 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
129, 10, 11syl2an 494 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
13 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑦 ∈ ℋ)
14 fvco3 6232 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
159, 13, 14syl2an 494 . . . . 5 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆𝑇)‘𝑦) = (𝑆‘(𝑇𝑦)))
1612, 15oveq12d 6622 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))))
17 ffvelrn 6313 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
18 ffvelrn 6313 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
1917, 18anim12dan 881 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
208, 19sylan 488 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
21 unop 28620 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
22213expb 1263 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ ((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2320, 22sylan2 491 . . . . 5 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ (𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2423anassrs 679 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih (𝑆‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
25 unop 28620 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
26253expb 1263 . . . . 5 ((𝑇 ∈ UniOp ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2726adantll 749 . . . 4 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2816, 24, 273eqtrd 2659 . . 3 (((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2928ralrimivva 2965 . 2 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30 elunop 28577 . 2 ((𝑆𝑇) ∈ UniOp ↔ ((𝑆𝑇): ℋ–onto→ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih ((𝑆𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦)))
316, 29, 30sylanbrc 697 1 ((𝑆 ∈ UniOp ∧ 𝑇 ∈ UniOp) → (𝑆𝑇) ∈ UniOp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907   ∘ ccom 5078  ⟶wf 5843  –onto→wfo 5845  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ℋchil 27622   ·ih csp 27625  UniOpcuo 27652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-hilex 27702  ax-hfvadd 27703  ax-hvcom 27704  ax-hvass 27705  ax-hv0cl 27706  ax-hvaddid 27707  ax-hfvmul 27708  ax-hvmulid 27709  ax-hvdistr2 27712  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-hvsub 27674  df-unop 28548 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator