MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cp 8698
Description: Collection Principle. This remarkable theorem scheme is in effect a very strong generalization of the Axiom of Replacement. The proof makes use of Scott's trick scottex 8692 that collapses a proper class into a set of minimum rank. The wff 𝜑 can be thought of as 𝜑(𝑥, 𝑦). Scheme "Collection Principle" of [Jech] p. 72. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
cp 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑤   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cp
StepHypRef Expression
1 vex 3189 . . 3 𝑧 ∈ V
21cplem2 8697 . 2 𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅)
3 abn0 3928 . . . . 5 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝜑)
4 elin 3774 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤))
5 abid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ↔ 𝜑)
65anbi1i 730 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑦𝜑} ∧ 𝑦𝑤) ↔ (𝜑𝑦𝑤))
7 ancom 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
84, 6, 73bitri 286 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ (𝑦𝑤𝜑))
98exbii 1771 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
10 nfab1 2763 . . . . . . . 8 𝑦{𝑦𝜑}
11 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑦𝑤
1210, 11nfin 3798 . . . . . . 7 𝑦({𝑦𝜑} ∩ 𝑤)
1312n0f 3903 . . . . . 6 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤))
14 df-rex 2913 . . . . . 6 (∃𝑦𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦𝑤𝜑))
159, 13, 143bitr4i 292 . . . . 5 (({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑤 𝜑)
163, 15imbi12i 340 . . . 4 (({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1716ralbii 2974 . . 3 (∀𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
1817exbii 1771 . 2 (∃𝑤𝑥𝑧 ({𝑦𝜑} ≠ ∅ → ({𝑦𝜑} ∩ 𝑤) ≠ ∅) ↔ ∃𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑))
192, 18mpbi 220 1 𝑤𝑥𝑧 (∃𝑦𝜑 → ∃𝑦𝑤 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  c0 3891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-reg 8441  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-r1 8571  df-rank 8572
This theorem is referenced by:  bnd  8699
  Copyright terms: Public domain W3C validator