MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2di 23205
Description: Distributive law for inner product. Complex version of ip2di 20186. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphdir.P + = (+g𝑊)
cph2di.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2di.2 (𝜑𝐴𝑉)
cph2di.3 (𝜑𝐵𝑉)
cph2di.4 (𝜑𝐶𝑉)
cph2di.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
cph2di (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2di
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2 cphipcj.h . . 3 , = (·𝑖𝑊)
3 cphipcj.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 cphdir.P . . 3 + = (+g𝑊)
5 eqid 2758 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
6 cph2di.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 cphphl 23169 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
9 cph2di.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
10 cph2di.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
11 cph2di.4 . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
12 cph2di.5 . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
131, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12ip2di 20186 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
14 cphclm 23187 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
151clmadd 23072 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
166, 14, 153syl 18 . . 3 (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
1716oveqd 6828 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
1816oveqd 6828 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
1916, 17, 18oveq123d 6832 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
2013, 19eqtr4d 2795 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2137  cfv 6047  (class class class)co 6811   + caddc 10129  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  Scalarcsca 16144  ·𝑖cip 16146  PreHilcphl 20169  ℂModcclm 23060  ℂPreHilccph 23164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-fz 12518  df-seq 12994  df-exp 13053  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-subg 17790  df-ghm 17857  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-oppr 18821  df-dvdsr 18839  df-unit 18840  df-rnghom 18915  df-drng 18949  df-subrg 18978  df-staf 19045  df-srng 19046  df-lmod 19065  df-lmhm 19222  df-lvec 19303  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-cnfld 19947  df-phl 20171  df-nlm 22590  df-clm 23061  df-cph 23166
This theorem is referenced by:  nmparlem  23236  cphipval2  23238
  Copyright terms: Public domain W3C validator