Theorem cph2di 23813

Description: Distributive law for inner product. Complex version of ip2di 20787. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipcj.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipcj.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphdir.P	⊢ + = (+g‘𝑊)
cph2di.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2di.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
cph2di.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
cph2di.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
cph2di.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cph2di	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2di

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2		cphipcj.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		cphipcj.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		cphdir.P	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		eqid 2823	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
6		cph2di.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
7		cphphl 23777	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
9		cph2di.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		cph2di.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
11		cph2di.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
12		cph2di.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
13	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12	ip2di 20787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
14		cphclm 23795	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
15	1	clmadd 23680	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
16	6, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
17	16	oveqd 7175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
18	16	oveqd 7175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
19	16, 17, 18	oveq123d 7179	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(+g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
20	13, 19	eqtr4d 2861	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) + ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   + caddc 10542  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570  ·_𝑖cip 16572  PreHilcphl 20770  ℂModcclm 23668  ℂPreHilccph 23772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-rnghom 19469  df-drng 19506  df-subrg 19535  df-staf 19618  df-srng 19619  df-lmod 19638  df-lmhm 19796  df-lvec 19877  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-cnfld 20548  df-phl 20772  df-nlm 23198  df-clm 23669  df-cph 23774

This theorem is referenced by:  nmparlem  23844  cphipval2  23846