MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cph2subdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cph2subdi 22950
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ip2subdi 19929. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m = (-g𝑊)
cph2subdi.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cph2subdi.2 (𝜑𝐴𝑉)
cph2subdi.3 (𝜑𝐵𝑉)
cph2subdi.4 (𝜑𝐶𝑉)
cph2subdi.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
cph2subdi (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem cph2subdi
StepHypRef Expression
1 cph2subdi.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 cphclm 22929 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
54clmadd 22814 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
76oveqd 6632 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷)))
86oveqd 6632 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
97, 8oveq12d 6633 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
10 cphphl 22911 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
111, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
12 cph2subdi.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
13 cph2subdi.4 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
14 cphipcj.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
15 cphipcj.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
174, 14, 15, 16ipcl 19918 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1811, 12, 13, 17syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19 cph2subdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
20 cph2subdi.5 . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
214, 14, 15, 16ipcl 19918 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2211, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
234, 16clmacl 22824 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
243, 18, 22, 23syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
254, 14, 15, 16ipcl 19918 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2611, 12, 20, 25syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
274, 14, 15, 16ipcl 19918 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2811, 19, 13, 27syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
294, 16clmacl 22824 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
303, 26, 28, 29syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
314, 16clmsub 22820 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ ((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
323, 24, 30, 31syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
33 cphsubdir.m . . 3 = (-g𝑊)
34 eqid 2621 . . 3 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
35 eqid 2621 . . 3 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
364, 14, 15, 33, 34, 35, 11, 12, 19, 13, 20ip2subdi 19929 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐷))(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴 , 𝐷)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶))))
379, 32, 363eqtr4rd 2666 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) + (𝐵 , 𝐷)) − ((𝐴 , 𝐷) + (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615   + caddc 9899  cmin 10226  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884  ·𝑖cip 15886  -gcsg 17364  PreHilcphl 19909  ℂModcclm 22802  ℂPreHilccph 22906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-staf 18785  df-srng 18786  df-lmod 18805  df-lmhm 18962  df-lvec 19043  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-cnfld 19687  df-phl 19911  df-nlm 22331  df-clm 22803  df-cph 22908
This theorem is referenced by:  nmparlem  22978  cphipval2  22980
  Copyright terms: Public domain W3C validator