Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphassr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphassr 23058
 Description: "Associative" law for second argument of inner product (compare cphass 23057). See ipassr 20039, his52 . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphass.s · = ( ·𝑠𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphassr ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphassr
StepHypRef Expression
1 cphclm 23035 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
21adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3 cphass.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
43clmmul 22921 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
52, 4syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → · = (.r𝐹))
6 eqidd 2652 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
73clmcj 22922 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
82, 7syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ∗ = (*𝑟𝐹))
98fveq1d 6231 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∗‘𝐴) = ((*𝑟𝐹)‘𝐴))
105, 6, 9oveq123d 6711 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝐴)))
11 cphass.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
123, 11clmsscn 22925 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
132, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐾 ⊆ ℂ)
14 simpr1 1087 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝐾)
1513, 14sseldd 3637 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615cjcld 13980 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17 cphipcj.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 cphipcj.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
1917, 18cphipcl 23037 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
20193adant3r1 1295 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ ℂ)
2116, 20mulcomd 10099 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶) · (∗‘𝐴)))
22 cphphl 23017 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
23 3anrot 1060 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉) ↔ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝐾))
2423biimpi 206 . . 3 ((𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝐾))
25 cphass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
26 eqid 2651 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
27 eqid 2651 . . . 4 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
283, 18, 17, 11, 25, 26, 27ipassr 20039 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐴𝐾)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝐴)))
2922, 24, 28syl2an 493 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((𝐵 , 𝐶)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝐴)))
3010, 21, 293eqtr4rd 2696 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝐾𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 , 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   · cmul 9979  ∗ccj 13880  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  *𝑟cstv 15990  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  ·𝑖cip 15993  PreHilcphl 20017  ℂModcclm 22908  ℂPreHilccph 23012 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014 This theorem is referenced by:  cph2ass  23059  cphassir  23061  pjthlem1  23254
 Copyright terms: Public domain W3C validator