MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphipeq0 22731
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. Complex version of ipeq0 19743. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphip0l.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphipeq0 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem cphipeq0
StepHypRef Expression
1 cphclm 22717 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
2 eqid 2605 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
32clm0 22607 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
54adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
65eqeq2d 2615 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 , 𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7 cphphl 22699 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
8 cphipcj.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
9 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 eqid 2605 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
11 cphip0l.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
122, 8, 9, 10, 11ipeq0 19743 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
137, 12sylan 486 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ 𝐴 = 0 ))
146, 13bitrd 266 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713  ·𝑖cip 15715  0gc0g 15865  PreHilcphl 19729  ℂModcclm 22597  ℂPreHilccph 22694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-seq 12615  df-exp 12674  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cmn 17960  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-drng 18514  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lmhm 18785  df-lvec 18866  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-cnfld 19510  df-phl 19731  df-nlm 22138  df-clm 22598  df-cph 22696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator