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Theorem cphipval 22950
Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipfval.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p + = (+g𝑊)
cphipfval.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphipfval.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i , = (·𝑖𝑊)
cphipval.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphipval (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval
StepHypRef Expression
1 cphipfval.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 cphipfval.p . . 3 + = (+g𝑊)
3 cphipfval.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
4 cphipfval.n . . 3 𝑁 = (norm‘𝑊)
5 cphipfval.i . . 3 , = (·𝑖𝑊)
6 eqid 2621 . . 3 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7 cphipval.f . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 cphipval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cphipval2 22948 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10 ax-icn 9939 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ ℂ)
12 simp1l 1083 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13 cphngp 22881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14 ngpgrp 22313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17163ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
19 cphlmod 22882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20193anim1i 1246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
21203expa 1262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋))
221, 7, 3, 8lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant2 1078 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
251, 2grpcl 17351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
2617, 18, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
271, 5, 4nmsq 22902 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
2812, 26, 27syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
291, 5reipcl 22905 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3012, 26, 29syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3130recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
3228, 31eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
3311, 32mulcld 10004 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
3419adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35343ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36 cphclm 22897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
377, 8clmneg1 22790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40393ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
421, 7, 3, 8lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
4335, 40, 41, 42syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
441, 2grpcl 17351 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
4517, 18, 43, 44syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
461, 5, 4nmsq 22902 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
4712, 45, 46syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
481, 5reipcl 22905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
4912, 45, 48syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
5047, 49eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
5150recnd 10012 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52 addneg1mul 10416 . . . . . . . 8 (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5333, 51, 52syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
5436adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
551, 2, 6, 7, 3clmvsubval 22817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
5655eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5754, 56syl3an1 1356 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)𝐵))
5857fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵)))
5958oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))
6059oveq2d 6620 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
6153, 60eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
62 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (invg𝑊) = (invg𝑊)
63543ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64 simp1r 1084 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → i ∈ 𝐾)
651, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64clmvsneg 22808 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
6665eqcomd 2627 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg𝑊)‘(i · 𝐵)))
6766oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
681, 2, 62, 6grpsubval 17386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
6918, 24, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg𝑊)‘(i · 𝐵))))
7067, 69eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))
7170fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
7271oveq1d 6619 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
7372oveq2d 6620 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
7461, 73oveq12d 6622 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
7554anim1i 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
76753adant2 1078 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋))
771, 3clmvs1 22801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
7978oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
8079fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
8180oveq1d 6619 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
8281oveq2d 6620 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
831, 2grpcl 17351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
8416, 83syl3an1 1356 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
851, 5, 4nmsq 22902 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
8612, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
871, 5reipcl 22905 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8812, 84, 87syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
8986, 88eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
9089recnd 10012 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
9190mulid2d 10002 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9282, 91eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
9374, 92oveq12d 6622 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94 nnuz 11667 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
95 df-4 11025 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
96 oveq2 6612 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97 i4 12907 . . . . . . . 8 (i↑4) = 1
9896, 97syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
9998oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
10099oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101100fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102101oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
10398, 102oveq12d 6622 . . . . . 6 (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
10410a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105 nnnn0 11243 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106104, 105expcld 12948 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107106adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
10812adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
10917adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
11018adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
11135adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
11236anim1i 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1131123ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
1147, 8cmodscexp 22829 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115113, 114sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
11641adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵𝑋)
1171, 7, 3, 8lmodvscl 18801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾𝐵𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118111, 115, 116, 117syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
1191, 2grpcl 17351 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120109, 110, 118, 119syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1211, 5, 4nmsq 22902 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122108, 120, 121syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
1231, 5reipcl 22905 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124108, 120, 123syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125124recnd 10012 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126122, 125eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127107, 126mulcld 10004 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128 df-3 11024 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
129 oveq2 6612 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130 i3 12906 . . . . . . . . 9 (i↑3) = -i
131129, 130syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132131oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133132oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134133fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135134oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136131, 135oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
13710a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139137, 138expcld 12948 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140123recnd 10012 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141108, 120, 140syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142122, 141eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143139, 142mulcld 10004 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144 df-2 11023 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
145 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146 i2 12905 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
147145, 146syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148147oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149148oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150149fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151150oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152147, 151oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153139, 126mulcld 10004 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154 1z 11351 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
155 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156 exp1 12806 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
15710, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (i↑1) = i
158155, 157syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159158oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160159oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161160fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162161oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163158, 162oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164163fsum1 14406 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165154, 33, 164sylancr 694 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166 1nn 10975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
167165, 166jctil 559 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168 eqidd 2622 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
16994, 144, 152, 153, 167, 168fsump1i 14428 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170 eqidd 2622 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
17194, 128, 136, 143, 169, 170fsump1i 14428 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172 eqidd 2622 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
17394, 95, 103, 127, 171, 172fsump1i 14428 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174173simprd 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
1751, 6grpsubcl 17416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
17616, 175syl3an1 1356 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
1771, 5, 4nmsq 22902 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
17812, 176, 177syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)))
1791, 5reipcl 22905 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
18012, 176, 179syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181178, 180eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182181recnd 10012 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
18390, 182subcld 10336 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
1841, 6grpsubcl 17416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
18517, 18, 24, 184syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
1861, 5, 4nmsq 22902 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
18712, 185, 186syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))))
1881, 5reipcl 22905 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
18912, 185, 188syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190187, 189eqeltrd 2698 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191190recnd 10012 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19232, 191subcld 10336 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19311, 192mulcld 10004 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194183, 193addcomd 10182 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
195193, 182, 90subadd23d 10358 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2))))
19632, 191, 11subdir2d 10432 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197196oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)))
19811, 191mulcld 10004 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
19933, 198, 182sub32d 10368 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200197, 199eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201200oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202194, 195, 2013eqtr2d 2661 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
20333, 182subcld 10336 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204203, 198negsubd 10342 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
20511, 191mulneg1d 10427 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206205eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207206oveq2d 6620 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208204, 207eqtr3d 2657 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209208oveq1d 6619 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210202, 209eqtrd 2655 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
21193, 174, 2103eqtr4rd 2666 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212211oveq1d 6619 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
2139, 212eqtrd 2655 1 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  1c1 9881  ici 9882   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  cexp 12800  Σcsu 14350  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  ·𝑖cip 15867  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  -gcsg 17345  LModclmod 18784  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292  ℂModcclm 22770  ℂPreHilccph 22874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lmhm 18941  df-lvec 19022  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-phl 19890  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nlm 22301  df-clm 22771  df-cph 22876
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