Theorem cphipval 23849

Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipfval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cphipfval.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
cphipfval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
cphipfval.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphipfval.i	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
cphipval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphipval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphipval	⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝐾   𝑘,𝑊   + ,𝑘   · ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑘)   , (𝑘)

Proof of Theorem cphipval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		cphipfval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		cphipfval.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		cphipfval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
5		cphipfval.i	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
6		eqid 2824	. . 3 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
7		cphipval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		cphipval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 23847	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
10		ax-icn 10599	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ ℂ)
12		simp1l 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
13		cphngp 23780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
14		ngpgrp 23211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ Grp)
16	15	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ Grp)
17	16	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Grp)
18		simp2 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
19		cphlmod 23781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
20	19	3anim1i 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
21	20	3expa 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
22	1, 7, 3, 8	lmodvscl 19654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
24	23	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · 𝐵) ∈ 𝑋)
25	1, 2	grpcl 18114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
26	17, 18, 24, 25	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
27	1, 5, 4	nmsq 23801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
28	12, 26, 27	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))))
29	1, 5	reipcl 23804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
30	12, 26, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
31	30	recnd 10672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) , (𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
32	28, 31	eqeltrd 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
33	11, 32	mulcld 10664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
34	19	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
35	34	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
36		cphclm 23796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
37	7, 8	clmneg1 23689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → -1 ∈ 𝐾)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → -1 ∈ 𝐾)
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → -1 ∈ 𝐾)
40	39	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -1 ∈ 𝐾)
41		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
42	1, 7, 3, 8	lmodvscl 19654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ -1 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
43	35, 40, 41, 42	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋)
44	1, 2	grpcl 18114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1 · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
45	17, 18, 43, 44	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋)
46	1, 5, 4	nmsq 23801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
47	12, 45, 46	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))))
48	1, 5	reipcl 23804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
49	12, 45, 48	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) , (𝐴 + (-1 · 𝐵))) ∈ ℝ)
50	47, 49	eqeltrd 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
51	50	recnd 10672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
52		addneg1mul 11085	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
53	33, 51, 52	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
54	36	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → 𝑊 ∈ ℂMod)
55	1, 2, 6, 7, 3	clmvsubval 23716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
56	55	eqcomd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
57	54, 56	syl3an1 1159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)𝐵))
58	57	fveq2d 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
59	58	oveq1d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))
60	59	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
61	53, 60	eqtrd 2859	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
62		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
63	54	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ ℂMod)
64		simp1r 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → i ∈ 𝐾)
65	1, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64	clmvsneg 23707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵)) = (-i · 𝐵))
66	65	eqcomd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · 𝐵) = ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵)))
67	66	oveq2d 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
68	1, 2, 62, 6	grpsubval 18152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
69	18, 24, 68	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) = (𝐴 + ((invg‘𝑊)‘(i · 𝐵))))
70	67, 69	eqtr4d 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (-i · 𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))
71	70	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
72	71	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))
73	72	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
74	61, 73	oveq12d 7177	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
75	54	anim1i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
76	75	3adant2 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
77	1, 3	clmvs1 23700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
79	78	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (1 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
80	79	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + 𝐵)))
81	80	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
82	81	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
83	1, 2	grpcl 18114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
84	16, 83	syl3an1 1159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
85	1, 5, 4	nmsq 23801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
86	12, 84, 85	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
87	1, 5	reipcl 23804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
88	12, 84, 87	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ)
89	86, 88	eqeltrd 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
90	89	recnd 10672	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) ∈ ℂ)
91	90	mulid2d 10662	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
92	82, 91	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)) = ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2))
93	74, 92	oveq12d 7177	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
94		nnuz 12284	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
95		df-4 11705	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
96		oveq2 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = (i↑4))
97		i4 13570	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑4) = 1
98	96, 97	syl6eq 2875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 4 → (i↑𝑘) = 1)
99	98	oveq1d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
100	99	oveq2d 7175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (1 · 𝐵)))
101	100	fveq2d 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵))))
102	101	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))
103	98, 102	oveq12d 7177	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 4 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))
104	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → i ∈ ℂ)
105		nnnn0 11907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
106	104, 105	expcld 13513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
107	106	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
108	12	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
109	17	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Grp)
110	18	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
111	35	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ LMod)
112	36	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
113	112	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾))
114	7, 8	cmodscexp 23728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
115	113, 114	sylan 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ 𝐾)
116	41	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ 𝑋)
117	1, 7, 3, 8	lmodvscl 19654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (i↑𝑘) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
118	111, 115, 116, 117	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋)
119	1, 2	grpcl 18114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((i↑𝑘) · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
120	109, 110, 118, 119	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋)
121	1, 5, 4	nmsq 23801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
122	108, 120, 121	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))))
123	1, 5	reipcl 23804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
124	108, 120, 123	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℝ)
125	124	recnd 10672	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
126	122, 125	eqeltrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
127	107, 126	mulcld 10664	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
128		df-3 11704	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
129		oveq2 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = (i↑3))
130		i3 13569	. . . . . . . . 9 ⊢ (i↑3) = -i
131	129, 130	syl6eq 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → (i↑𝑘) = -i)
132	131	oveq1d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-i · 𝐵))
133	132	oveq2d 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-i · 𝐵)))
134	133	fveq2d 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵))))
135	134	oveq1d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))
136	131, 135	oveq12d 7177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 3 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))
137	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
138	105	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
139	137, 138	expcld 13513	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
140	123	recnd 10672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
141	108, 120, 140	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) , (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) ∈ ℂ)
142	122, 141	eqeltrd 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
143	139, 142	mulcld 10664	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
144		df-2 11703	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
145		oveq2 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = (i↑2))
146		i2 13568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
147	145, 146	syl6eq 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → (i↑𝑘) = -1)
148	147	oveq1d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (-1 · 𝐵))
149	148	oveq2d 7175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵)))
150	149	fveq2d 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵))))
151	150	oveq1d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))
152	147, 151	oveq12d 7177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 2 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))
153	139, 126	mulcld 10664	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
154		1z 12015	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
155		oveq2 7167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = (i↑1))
156		exp1 13438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
157	10, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i↑1) = i
158	155, 157	syl6eq 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (i↑𝑘) = i)
159	158	oveq1d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · 𝐵) = (i · 𝐵))
160	159	oveq2d 7175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)) = (𝐴 + (i · 𝐵)))
161	160	fveq2d 6677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵))) = (𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵))))
162	161	oveq1d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))
163	158, 162	oveq12d 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
164	163	fsum1 15105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
165	154, 33, 164	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)))
166		1nn 11652	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
167	165, 166	jctil 522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...1)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2))))
168		eqidd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))))
169	94, 144, 152, 153, 167, 168	fsump1i 15127	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (2 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...2)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2)))))
170		eqidd 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))))
171	94, 128, 136, 143, 169, 170	fsump1i 15127	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (3 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...3)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2)))))
172		eqidd 2825	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
173	94, 95, 103, 127, 171, 172	fsump1i 15127	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (4 ∈ ℕ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2)))))
174	173	simprd 498	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) + (-1 · ((𝑁‘(𝐴 + (-1 · 𝐵)))↑2))) + (-i · ((𝑁‘(𝐴 + (-i · 𝐵)))↑2))) + (1 · ((𝑁‘(𝐴 + (1 · 𝐵)))↑2))))
175	1, 6	grpsubcl 18182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
176	16, 175	syl3an1 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋)
177	1, 5, 4	nmsq 23801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
178	12, 176, 177	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)))
179	1, 5	reipcl 23804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
180	12, 176, 179	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)𝐵) , (𝐴(-g‘𝑊)𝐵)) ∈ ℝ)
181	178, 180	eqeltrd 2916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
182	181	recnd 10672	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
183	90, 182	subcld 11000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
184	1, 6	grpsubcl 18182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i · 𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
185	17, 18, 24, 184	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋)
186	1, 5, 4	nmsq 23801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
187	12, 185, 186	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))))
188	1, 5	reipcl 23804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
189	12, 185, 188	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)) , (𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵))) ∈ ℝ)
190	187, 189	eqeltrd 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
191	190	recnd 10672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
192	32, 191	subcld 11000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
193	11, 192	mulcld 10664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
194	183, 193	addcomd 10845	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))))
195	193, 182, 90	subadd23d 11022	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2))))
196	11, 32, 191	subdid 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
197	196	oveq1d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)))
198	11, 191	mulcld 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
199	33, 198, 182	sub32d 11032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
200	197, 199	eqtrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
201	200	oveq1d 7174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
202	194, 195, 201	3eqtr2d 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
203	33, 182	subcld 11000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) ∈ ℂ)
204	203, 198	negsubd 11006	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
205	11, 191	mulneg1d 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
206	205	eqcomd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)) = (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))
207	206	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + -(i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
208	204, 207	eqtr3d 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) = (((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))))
209	208	oveq1d 7174	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) − (i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
210	202, 209	eqtrd 2859	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = ((((i · ((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2)) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (-i · ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2))) + ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2)))
211	93, 174, 210	3eqtr4rd 2870	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)))
212	211	oveq1d 7174	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)𝐵))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴(-g‘𝑊)(i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))
213	9, 212	eqtrd 2859	1 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 , 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...4)((i↑𝑘) · ((𝑁‘(𝐴 + ((i↑𝑘) · 𝐵)))↑2)) / 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  1c1 10541  ici 10542   + caddc 10543   · cmul 10545   − cmin 10873  -cneg 10874   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ↑cexp 13432  Σcsu 15045  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  Scalarcsca 16571   ·_𝑠 cvsca 16572  ·_𝑖cip 16573  Grpcgrp 18106  inv_gcminusg 18107  -_gcsg 18108  LModclmod 19637  normcnm 23189  NrmGrpcngp 23190  ℂModcclm 23669  ℂPreHilccph 23773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-topgen 16720  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-rnghom 19470  df-drng 19507  df-subrg 19536  df-staf 19619  df-srng 19620  df-lmod 19639  df-lmhm 19797  df-lvec 19878  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-cnfld 20549  df-phl 20773  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-xms 22933  df-ms 22934  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nlm 23199  df-clm 23670  df-cph 23775

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