Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphnmf 22898
 Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmsq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h , = (·𝑖𝑊)
nmsq.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphnmf (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉𝐾)

Proof of Theorem cphnmf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 cphphl 22874 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
4 simpr 477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
5 cphnmcl.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 nmsq.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
7 nmsq.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 cphnmcl.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
95, 6, 7, 8ipcl 19892 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
103, 4, 4, 9syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾)
11 nmsq.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝑊)
127, 6, 11nmsq 22897 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥)↑2) = (𝑥 , 𝑥))
13 cphngp 22876 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
147, 11nmcl 22325 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
1513, 14sylan 488 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝑥) ∈ ℝ)
1615resqcld 12972 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝑥)↑2) ∈ ℝ)
1712, 16eqeltrrd 2705 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ)
1815sqge0d 12973 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ ((𝑁𝑥)↑2))
1918, 12breqtrd 4644 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
205, 8cphsqrtcl 22887 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((𝑥 , 𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝑥 , 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
211, 10, 17, 19, 20syl13anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑥𝑉) → (√‘(𝑥 , 𝑥)) ∈ 𝐾)
22 eqid 2626 . . 3 (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))) = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥)))
2321, 22fmptd 6341 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉𝐾)
247, 6, 11cphnmfval 22895 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁 = (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))))
2524feq1d 5989 . 2 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑁:𝑉𝐾 ↔ (𝑥𝑉 ↦ (√‘(𝑥 , 𝑥))):𝑉𝐾))
2623, 25mpbird 247 1 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℝcr 9880  0cc0 9881   ≤ cle 10020  2c2 11015  ↑cexp 12797  √csqrt 13902  Basecbs 15776  Scalarcsca 15860  ·𝑖cip 15862  PreHilcphl 19883  normcnm 22286  NrmGrpcngp 22287  ℂPreHilccph 22869 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-topgen 16020  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-lmhm 18936  df-lvec 19017  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-phl 19885  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-xms 22030  df-ms 22031  df-nm 22292  df-ngp 22293  df-nlm 22296  df-cph 22871 This theorem is referenced by:  cphnmcl  22899
 Copyright terms: Public domain W3C validator