MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphnmvs 22971
Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphnmvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphnmvs.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmvs.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphnmvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphnmvs ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem cphnmvs
StepHypRef Expression
1 cphnlm 22953 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 cphnmvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 cphnmvs.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
4 cphnmvs.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
5 cphnmvs.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 cphnmvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
7 eqid 2620 . . . 4 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
82, 3, 4, 5, 6, 7nmvs 22461 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
91, 8syl3an1 1357 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
10 cphclm 22970 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
115, 6clmabs 22864 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
1210, 11sylan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
13123adant3 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
1413oveq1d 6650 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → ((abs‘𝑋) · (𝑁𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
159, 14eqtr4d 2657 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635   · cmul 9926  abscabs 13955  Basecbs 15838  Scalarcsca 15925   ·𝑠 cvsca 15926  normcnm 22362  NrmModcnlm 22366  ℂModcclm 22843  ℂPreHilccph 22947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-subg 17572  df-cmn 18176  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-lvec 19084  df-cnfld 19728  df-phl 19952  df-nm 22368  df-nlm 22372  df-clm 22844  df-cph 22949
This theorem is referenced by:  minveclem2  23178
  Copyright terms: Public domain W3C validator