MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphnmvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphnmvs 23721
Description: Norm of a scalar product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphnmvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphnmvs.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmvs.s · = ( ·𝑠𝑊)
cphnmvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphnmvs ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem cphnmvs
StepHypRef Expression
1 cphnlm 23703 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2 cphnmvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 cphnmvs.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
4 cphnmvs.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
5 cphnmvs.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
6 cphnmvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
7 eqid 2818 . . . 4 (norm‘𝐹) = (norm‘𝐹)
82, 3, 4, 5, 6, 7nmvs 23212 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
91, 8syl3an1 1155 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
10 cphclm 23720 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
115, 6clmabs 23614 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
1210, 11sylan 580 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
13123adant3 1124 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (abs‘𝑋) = ((norm‘𝐹)‘𝑋))
1413oveq1d 7160 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → ((abs‘𝑋) · (𝑁𝑌)) = (((norm‘𝐹)‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
159, 14eqtr4d 2856 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = ((abs‘𝑋) · (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145   · cmul 10530  abscabs 14581  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  normcnm 23113  NrmModcnlm 23117  ℂModcclm 23593  ℂPreHilccph 23697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-lvec 19804  df-cnfld 20474  df-phl 20698  df-nm 23119  df-nlm 23123  df-clm 23594  df-cph 23699
This theorem is referenced by:  minveclem2  23956
  Copyright terms: Public domain W3C validator