MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubdi 22735
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ipsubdi 19747. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsubdi ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphsubdi
StepHypRef Expression
1 cphphl 22698 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2604 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 cphipcj.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
4 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 cphsubdir.m . . . 4 = (-g𝑊)
6 eqid 2604 . . . 4 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
72, 3, 4, 5, 6ipsubdi 19747 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
81, 7sylan 486 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
9 cphclm 22716 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
109adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
111adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 simpr1 1059 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
13 simpr2 1060 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
14 eqid 2604 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
152, 3, 4, 14ipcl 19737 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1611, 12, 13, 15syl3anc 1317 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 simpr3 1061 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
182, 3, 4, 14ipcl 19737 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1911, 12, 17, 18syl3anc 1317 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
202, 14clmsub 22614 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
2110, 16, 19, 20syl3anc 1317 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐴 , 𝐶)))
228, 21eqtr4d 2641 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5785  (class class class)co 6522  cmin 10112  Basecbs 15636  Scalarcsca 15712  ·𝑖cip 15714  -gcsg 17188  PreHilcphl 19728  ℂModcclm 22596  ℂPreHilccph 22693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-tpos 7211  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-fz 12148  df-seq 12614  df-exp 12673  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-mhm 17099  df-grp 17189  df-minusg 17190  df-sbg 17191  df-subg 17355  df-ghm 17422  df-cmn 17959  df-mgp 18254  df-ur 18266  df-ring 18313  df-cring 18314  df-oppr 18387  df-dvdsr 18405  df-unit 18406  df-rnghom 18479  df-drng 18513  df-subrg 18542  df-staf 18609  df-srng 18610  df-lmod 18629  df-lmhm 18784  df-lvec 18865  df-sra 18934  df-rgmod 18935  df-cnfld 19509  df-phl 19730  df-nlm 22137  df-clm 22597  df-cph 22695
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  22764  pjthlem1  22928
  Copyright terms: Public domain W3C validator