MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubdir 22735
Description: Distributive law for inner product subtraction. Complex version of ipsubdir 19747. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h , = (·𝑖𝑊)
cphipcj.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cphsubdir.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
cphsubdir ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem cphsubdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 22699 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 eqid 2605 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 cphipcj.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
4 cphipcj.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 cphsubdir.m . . . 4 = (-g𝑊)
6 eqid 2605 . . . 4 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
72, 3, 4, 5, 6ipsubdir 19747 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
81, 7sylan 486 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
9 cphclm 22717 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
109adantr 479 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
111adantr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 simpr1 1059 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
13 simpr3 1061 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐶𝑉)
14 eqid 2605 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
152, 3, 4, 14ipcl 19738 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1611, 12, 13, 15syl3anc 1317 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 simpr2 1060 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
182, 3, 4, 14ipcl 19738 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1911, 17, 13, 18syl3anc 1317 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
202, 14clmsub 22615 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
2110, 16, 19, 20syl3anc 1317 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)) = ((𝐴 , 𝐶)(-g‘(Scalar‘𝑊))(𝐵 , 𝐶)))
228, 21eqtr4d 2642 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) − (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmin 10113  Basecbs 15637  Scalarcsca 15713  ·𝑖cip 15715  -gcsg 17189  PreHilcphl 19729  ℂModcclm 22597  ℂPreHilccph 22694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-fz 12149  df-seq 12615  df-exp 12674  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cmn 17960  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-drng 18514  df-subrg 18543  df-lmod 18630  df-lmhm 18785  df-lvec 18866  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-cnfld 19510  df-phl 19731  df-nlm 22138  df-clm 22598  df-cph 22696
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  22765  pjthlem1  22929
  Copyright terms: Public domain W3C validator