MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubrglem 22885
Description: Lemma for cphsubrg 22888. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 18675 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐴)) = (Base‘(ℂflds 𝐴))
9 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(ℂflds 𝐴)) = (0g‘(ℂflds 𝐴))
108, 9ring0cl 18490 . . . . . . . . . 10 ((ℂflds 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)))
11 reldmress 15847 . . . . . . . . . . 11 Rel dom ↾s
12 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐴) = (ℂflds 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 15842 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 19669 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
1712, 16ressbas 15851 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
202, 19syl5eq 2667 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
2120oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2216ressinbas 15857 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2421, 23eqtr4d 2658 . . 3 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐴))
251, 24eqtr4d 2658 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 19687 . . . 4 fld ∈ Ring
2826, 27jctil 559 . . 3 (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 15853 . . . . . 6 (Base‘(ℂflds 𝐴)) ⊆ ℂ
303, 29syl6eqss 3634 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
312, 30syl5eqss 3628 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
32 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
33 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3432, 33drngunz 18683 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
3625fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
37 ringgrp 18473 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39 ringgrp 18473 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂflds 𝐾) ∈ Ring → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 17515 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1244 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
44 cnfld0 19689 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
4543, 44subg0 17521 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐹) = 0)
4835, 47neeqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ 0)
4948neneqd 2795 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (1r𝐹) = 0)
502, 33ringidcl 18489 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ ℂ)
5352sqvald 12945 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = ((1r𝐹) · (1r𝐹)))
5425fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) = (1r‘(ℂflds 𝐾)))
5554oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹) · (1r𝐹)) = ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)))
5625fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
572, 56syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2700 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾)))
59 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐾)) = (Base‘(ℂflds 𝐾))
60 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐹) ∈ V
612, 60eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
62 cnfldmul 19671 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
6343, 62ressmulr 15927 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
6461, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
65 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(ℂflds 𝐾)) = (1r‘(ℂflds 𝐾))
6659, 64, 65ringlidm 18492 . . . . . . . . . 10 (((ℂflds 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾))) → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6726, 58, 66syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6853, 55, 673eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹))
69 sq01 12926 . . . . . . . . 9 ((1r𝐹) ∈ ℂ → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7052, 69syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7168, 70mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1))
7271ord 392 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (1r𝐹) = 0 → (1r𝐹) = 1))
7349, 72mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝐹) = 1)
7473, 51eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
7531, 74jca 554 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
76 cnfld1 19690 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
7716, 76issubrg 18701 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7828, 75, 77sylanbrc 697 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7925, 20, 783jca 1240 1 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  2c2 11014  cexp 12800  Basecbs 15781  s cress 15782  .rcmulr 15863  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  1rcur 18422  Ringcrg 18468  DivRingcdr 18668  SubRingcsubrg 18697  fldccnfld 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-cnfld 19666
This theorem is referenced by:  cphreccllem  22886  cphsubrg  22888  tchclm  22939  tchcph  22944
  Copyright terms: Public domain W3C validator