Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplem1 8696
 Description: Lemma for the Collection Principle cp 8698. (Contributed by NM, 17-Oct-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
cplem1.1 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
cplem1.2 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
Assertion
Ref Expression
cplem1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem cplem1
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scott0 8693 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
2 cplem1.1 . . . . . . 7 𝐶 = {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)}
32eqeq1i 2626 . . . . . 6 (𝐶 = ∅ ↔ {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} = ∅)
41, 3bitr4i 267 . . . . 5 (𝐵 = ∅ ↔ 𝐶 = ∅)
54necon3bii 2842 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐶 ≠ ∅)
6 n0 3907 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
75, 6bitri 264 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
8 ssrab2 3666 . . . . . . . . 9 {𝑦𝐵 ∣ ∀𝑧𝐵 (rank‘𝑦) ⊆ (rank‘𝑧)} ⊆ 𝐵
92, 8eqsstri 3614 . . . . . . . 8 𝐶𝐵
109sseli 3579 . . . . . . 7 (𝑤𝐶𝑤𝐵)
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐵))
12 ssiun2 4529 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝐶 𝑥𝐴 𝐶)
13 cplem1.2 . . . . . . . 8 𝐷 = 𝑥𝐴 𝐶
1412, 13syl6sseqr 3631 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐶𝐷)
1514sseld 3582 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶𝑤𝐷))
1611, 15jcad 555 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝑤𝐵𝑤𝐷)))
17 inelcm 4004 . . . . 5 ((𝑤𝐵𝑤𝐷) → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
1816, 17syl6 35 . . . 4 (𝑥𝐴 → (𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
1918exlimdv 1858 . . 3 (𝑥𝐴 → (∃𝑤 𝑤𝐶 → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
207, 19syl5bi 232 . 2 (𝑥𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅))
2120rgen 2917 1 𝑥𝐴 (𝐵 ≠ ∅ → (𝐵𝐷) ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  ∪ ciun 4485  ‘cfv 5847  rankcrnk 8570 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-r1 8571  df-rank 8572 This theorem is referenced by:  cplem2  8697
 Copyright terms: Public domain W3C validator