MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cplgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cplgr0 26202
Description: The null graph (with no vertices and no edges) represented by the empty set is a complete graph. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
cplgr0 ∅ ∈ ComplGraph

Proof of Theorem cplgr0
StepHypRef Expression
1 ral0 4053 . . 3 𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
2 vtxval0 25826 . . . 4 (Vtx‘∅) = ∅
32raleqi 3136 . . 3 (∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅) ↔ ∀𝑣 ∈ ∅ 𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
41, 3mpbir 221 . 2 𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)
5 0ex 4755 . . 3 ∅ ∈ V
6 eqid 2626 . . . 4 (Vtx‘∅) = (Vtx‘∅)
76iscplgr 26191 . . 3 (∅ ∈ V → (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅)))
85, 7ax-mp 5 . 2 (∅ ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘∅)𝑣 ∈ (UnivVtx‘∅))
94, 8mpbir 221 1 ∅ ∈ ComplGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 1992  wral 2912  Vcvv 3191  c0 3896  cfv 5850  Vtxcvtx 25769  UnivVtxcuvtxa 26106  ComplGraphccplgr 26107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-slot 15780  df-base 15781  df-vtx 25771  df-cplgr 26112
This theorem is referenced by:  cusgr0  26203
  Copyright terms: Public domain W3C validator