MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadurid 20394
Description: The right-hand fundamental relation of the adjugate (see madurid 20172) applied to the characteristic matrix of a matrix. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadurid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadurid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadurid.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmadurid.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadurid.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadurid.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmadurid.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadurid.s = (-g𝑌)
cpmadurid.m1 · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadurid.1 1 = (1r𝑌)
cpmadurid.i 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
cpmadurid.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadurid.m2 × = (.r𝑌)
Assertion
Ref Expression
cpmadurid ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝐶𝑀) · 1 ))

Proof of Theorem cpmadurid
StepHypRef Expression
1 crngring 18288 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 cpmadurid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 cpmadurid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 cpmadurid.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 cpmadurid.y . . . . 5 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 cpmadurid.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝑅)
7 cpmadurid.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
8 cpmadurid.s . . . . 5 = (-g𝑌)
9 cpmadurid.m1 . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑌)
10 cpmadurid.1 . . . . 5 1 = (1r𝑌)
11 cpmadurid.i . . . . 5 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chmatcl 20355 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
131, 12syl3an2 1351 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 ∈ (Base‘𝑌))
144ply1crng 19293 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
15143ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ CRing)
16 eqid 2514 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17 cpmadurid.j . . . 4 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
18 eqid 2514 . . . 4 (𝑁 maDet 𝑃) = (𝑁 maDet 𝑃)
19 cpmadurid.m2 . . . 4 × = (.r𝑌)
205, 16, 17, 18, 10, 19, 9madurid 20172 . . 3 ((𝐼 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ CRing) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
2113, 15, 20syl2anc 690 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ))
22 cpmadurid.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2322, 2, 3, 4, 5, 18, 8, 6, 9, 7, 10chpmatval 20358 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))))
2411a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 = ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)))
2524eqcomd 2520 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀)) = 𝐼)
2625fveq2d 5991 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘((𝑋 · 1 ) (𝑇𝑀))) = ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼))
2723, 26eqtr2d 2549 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) = (𝐶𝑀))
2827oveq1d 6441 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (((𝑁 maDet 𝑃)‘𝐼) · 1 ) = ((𝐶𝑀) · 1 ))
2921, 28eqtrd 2548 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼 × (𝐽𝐼)) = ((𝐶𝑀) · 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5689  (class class class)co 6426  Fincfn 7717  Basecbs 15579  .rcmulr 15653   ·𝑠 cvsca 15656  -gcsg 17139  1rcur 18231  Ringcrg 18277  CRingccrg 18278  var1cv1 19271  Poly1cpl1 19272   Mat cmat 19935   maDet cmdat 20112   maAdju cmadu 20160   matToPolyMat cmat2pmat 20231   CharPlyMat cchpmat 20353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-xor 1456  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-ot 4037  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-ofr 6672  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-tpos 7114  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-sup 8107  df-oi 8174  df-card 8524  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-rp 11575  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-seq 12532  df-exp 12591  df-hash 12848  df-word 13013  df-lsw 13014  df-concat 13015  df-s1 13016  df-substr 13017  df-splice 13018  df-reverse 13019  df-s2 13303  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-prds 15815  df-pws 15817  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-mhm 17050  df-submnd 17051  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-sbg 17142  df-mulg 17256  df-subg 17306  df-ghm 17373  df-gim 17416  df-cntz 17465  df-oppg 17491  df-symg 17513  df-pmtr 17577  df-psgn 17626  df-evpm 17627  df-cmn 17926  df-abl 17927  df-mgp 18220  df-ur 18232  df-ring 18279  df-cring 18280  df-oppr 18353  df-dvdsr 18371  df-unit 18372  df-invr 18402  df-dvr 18413  df-rnghom 18445  df-drng 18479  df-subrg 18508  df-lmod 18595  df-lss 18658  df-sra 18897  df-rgmod 18898  df-ascl 19039  df-psr 19081  df-mvr 19082  df-mpl 19083  df-opsr 19085  df-psr1 19275  df-vr1 19276  df-ply1 19277  df-cnfld 19472  df-zring 19542  df-zrh 19577  df-dsmm 19798  df-frlm 19813  df-mamu 19912  df-mat 19936  df-mdet 20113  df-madu 20162  df-mat2pmat 20234  df-chpmat 20354
This theorem is referenced by:  chcoeffeq  20413
  Copyright terms: Public domain W3C validator