MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmidgsum 20440
Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmidgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmidgsum.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
cpmidgsum.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m · = ( ·𝑠𝑌)
cpmidgsum.1 1 = (1r𝑌)
cpmidgsum.u 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k 𝐾 = (𝐶𝑀)
cpmidgsum.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
Assertion
Ref Expression
cpmidgsum ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) · ((𝑈‘((coe1𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   · (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem cpmidgsum
StepHypRef Expression
1 cpmidgsum.k . . 3 𝐾 = (𝐶𝑀)
2 cpmidgsum.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
3 cpmidgsum.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 cpmidgsum.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 cpmidgsum.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
72, 3, 4, 5, 6chpmatply1 20404 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
81, 7syl5eqel 2692 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
9 cpmidgsum.y . . 3 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
10 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11 cpmidgsum.m . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
12 cpmidgsum.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
13 cpmidgsum.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
14 eqid 2610 . . 3 (𝑁 matToPolyMat 𝑅) = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
15 cpmidgsum.u . . 3 𝑈 = (algSc‘𝑃)
16 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17 cpmidgsum.1 . . 3 1 = (1r𝑌)
18 cpmidgsum.h . . 3 𝐻 = (𝐾 · 1 )
195, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 3, 4, 15, 16, 6, 15, 17, 18pmatcollpwscmat 20363 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐾 ∈ (Base‘𝑃)) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) · ((𝑈‘((coe1𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
208, 19syld3an3 1363 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑋) · ((𝑈‘((coe1𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cmpt 4638  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  0cn0 11142  Basecbs 15644   ·𝑠 cvsca 15721   Σg cgsu 15873  .gcmg 17312  mulGrpcmgp 18261  1rcur 18273  CRingccrg 18320  algSccascl 19081  var1cv1 19316  Poly1cpl1 19317  coe1cco1 19318   Mat cmat 19980   matToPolyMat cmat2pmat 20276   CharPlyMat cchpmat 20398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-ofr 6774  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-word 13103  df-lsw 13104  df-concat 13105  df-s1 13106  df-substr 13107  df-splice 13108  df-reverse 13109  df-s2 13393  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-prds 15880  df-pws 15882  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-sbg 17199  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-symg 17570  df-pmtr 17634  df-psgn 17683  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-srg 18278  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-rnghom 18487  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-lmod 18637  df-lss 18703  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-assa 19082  df-ascl 19084  df-psr 19126  df-mvr 19127  df-mpl 19128  df-opsr 19130  df-psr1 19320  df-vr1 19321  df-ply1 19322  df-coe1 19323  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-dsmm 19843  df-frlm 19858  df-mamu 19957  df-mat 19981  df-mdet 20158  df-mat2pmat 20279  df-decpmat 20335  df-chpmat 20399
This theorem is referenced by:  cpmidgsumm2pm  20441  cpmidg2sum  20452
  Copyright terms: Public domain W3C validator