MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnord 23449
Description: Cn conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘𝑀))
21sseq1d 3594 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
32imbi2d 328 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
4 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘𝑚))
54sseq1d 3594 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
65imbi2d 328 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
7 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)))
87sseq1d 3594 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
98imbi2d 328 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
10 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘𝑁))
1110sseq1d 3594 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
1211imbi2d 328 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
13 ssid 3586 . . . . 5 ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)
14132a1i 12 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
15 simprl 789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 recnprss 23419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1716ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
19 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20 eluznn0 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2120adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23 dvnf 23441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
2419, 15, 22, 23syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
25 dvnbss 23442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
2619, 15, 22, 25syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
27 dvnp1 23439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
2818, 15, 22, 27syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
29 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
3028, 29eqeltrrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
31 cncff 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
33 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓)
35 cnex 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ ∈ V
36 elpm2g 7738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆)))
3735, 19, 36sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆)))
3815, 37mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆))
3938simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom 𝑓𝑆)
4026, 39sstrd 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ 𝑆)
4118, 24, 40dvbss 23416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
4234, 41eqsstr3d 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom 𝑓 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
4326, 42eqssd 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) = dom 𝑓)
4443feq2d 5930 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ))
4524, 44mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ)
46 dvcn 23435 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆) ∧ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
4815, 47jca 552 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)))
4948ex 448 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
50 peano2nn0 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
5121, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
52 elcpn 23448 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5317, 51, 52syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
54 elcpn 23448 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5517, 21, 54syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5649, 53, 553imtr4d 281 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) → 𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑚)))
5756ssrdv 3573 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑚))
58 sstr2 3574 . . . . . . 7 (((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑚) → (((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
6059expcom 449 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
6160a2d 29 . . . 4 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 11581 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
6362com12 32 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
64633impia 1252 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  {cpr 4126  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  pm cpm 7723  cc 9791  cr 9792  1c1 9794   + caddc 9796  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  cnccncf 22435   D cdv 23378   D𝑛 cdvn 23379  Cnccpn 23380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lp 20698  df-perf 20699  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cncf 22437  df-limc 23381  df-dv 23382  df-dvn 23383  df-cpn 23384
This theorem is referenced by:  cpncn  23450  c1lip2  23510
  Copyright terms: Public domain W3C validator