Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerimplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerimplem1 20408
 Description: Lemma 1 for cramerimp 20411: The determinant of the identity matrix with the ith column replaced by a (column) vector equals the ith component of the vector. (Contributed by AV, 15-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramerimplem1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramerimplem1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramerimplem1.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramerimplem1.e 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
cramerimplem1.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerimplem1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷𝐸) = (𝑍𝐼))

Proof of Theorem cramerimplem1
StepHypRef Expression
1 crngring 18479 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
21anim2i 592 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
32ancomd 467 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
433adant3 1079 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
54adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
6 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝐼𝑁)
76anim1i 591 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐼𝑁𝑍𝑉))
8 cramerimplem1.v . . . . . 6 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
9 cramerimplem1.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
109fveq2i 6151 . . . . . 6 (1r𝐴) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
11 cramerimplem1.e . . . . . 6 𝐸 = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
128, 10, 111marepvmarrepid 20300 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼𝑁𝑍𝑉)) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼) = 𝐸)
135, 7, 12syl2anc 692 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼) = 𝐸)
1413eqcomd 2627 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐸 = (𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼))
1514fveq2d 6152 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷𝐸) = (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)))
16 cramerimplem1.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
1716a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅))
1817fveq1d 6150 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)))
19 simpl2 1063 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝑅 ∈ CRing)
207ancomd 467 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑍𝑉𝐼𝑁))
219eqcomi 2630 . . . . . . . 8 (𝑁 Mat 𝑅) = 𝐴
2221fveq2i 6151 . . . . . . 7 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
23 eqid 2621 . . . . . . 7 (1r𝐴) = (1r𝐴)
249, 22, 8, 23ma1repvcl 20295 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍𝑉𝐼𝑁)) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
255, 20, 24syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
2611, 25syl5eqel 2702 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
276adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐼𝑁)
28 elmapi 7823 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) → 𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅))
29 ffvelrn 6313 . . . . . . . . . 10 ((𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼𝑁) → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
3029ex 450 . . . . . . . . 9 (𝑍:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝐼𝑁 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) → (𝐼𝑁 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3231, 8eleq2s 2716 . . . . . . 7 (𝑍𝑉 → (𝐼𝑁 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3332com12 32 . . . . . 6 (𝐼𝑁 → (𝑍𝑉 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
34333ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑍𝑉 → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)))
3534imp 445 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅))
36 smadiadetr 20400 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))) ∧ (𝐼𝑁 ∧ (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
3719, 26, 27, 35, 36syl22anc 1324 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
3818, 37eqtrd 2655 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷‘(𝐼(𝐸(𝑁 matRRep 𝑅)(𝑍𝐼))𝐼)) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))))
398, 10, 111marepvsma1 20308 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼𝑁𝑍𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
405, 7, 39syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))
4140fveq2d 6152 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼)) = (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))))
4241oveq2d 6620 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))))
43 diffi 8136 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
4443anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
4544ancomd 467 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
46453adant3 1079 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
4746adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
48 eqid 2621 . . . . . 6 ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)
49 eqid 2621 . . . . . 6 ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
50 eqid 2621 . . . . . 6 (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))
51 eqid 2621 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5248, 49, 50, 51mdet1 20326 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r𝑅))
5347, 52syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅))) = (1r𝑅))
5453oveq2d 6620 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))) = ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(1r𝑅)))
5513ad2ant2 1081 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
5655adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
57 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
58 eqid 2621 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5957, 58, 51ringridm 18493 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑍𝐼) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑍𝐼))
6056, 35, 59syl2anc 692 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑍𝐼))
6142, 54, 603eqtrd 2659 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑍𝐼)(.r𝑅)(((𝑁 ∖ {𝐼}) maDet 𝑅)‘(𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝐸)𝐼))) = (𝑍𝐼))
6215, 38, 613eqtrd 2659 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼𝑁) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐷𝐸) = (𝑍𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3552  {csn 4148  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  1rcur 18422  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469   Mat cmat 20132   matRRep cmarrep 20281   matRepV cmatrepV 20282   subMat csubma 20301   maDet cmdat 20309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-symg 17719  df-pmtr 17783  df-psgn 17832  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mamu 20109  df-mat 20133  df-marrep 20283  df-marepv 20284  df-subma 20302  df-mdet 20310  df-minmar1 20360 This theorem is referenced by:  cramerimp  20411
 Copyright terms: Public domain W3C validator