Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerlem1 20433
 Description: Lemma 1 for cramer 20437. (Contributed by AV, 21-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerlem1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramerlem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑅 ∈ CRing)
21anim1i 591 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑁))
3 simpl2 1063 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑋𝐵𝑌𝑉))
4 pm3.22 465 . . . . . . 7 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
543adant2 1078 . . . . . 6 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
653ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
76adantr 481 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
8 cramer.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 cramer.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
10 cramer.v . . . . 5 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)
11 eqid 2621 . . . . 5 (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝑎) = (((1r𝐴)(𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝑎)
12 eqid 2621 . . . . 5 ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)
13 cramer.x . . . . 5 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
14 cramer.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
15 cramer.q . . . . 5 / = (/r𝑅)
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cramerimp 20432 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑁) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝑋 · 𝑍) = 𝑌 ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)))
172, 3, 7, 16syl3anc 1323 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)))
1817ralrimiva 2962 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → ∀𝑎𝑁 (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)))
19 elmapfn 7840 . . . . . 6 (𝑍 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) → 𝑍 Fn 𝑁)
2019, 10eleq2s 2716 . . . . 5 (𝑍𝑉𝑍 Fn 𝑁)
21203ad2ant2 1081 . . . 4 (((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌) → 𝑍 Fn 𝑁)
22213ad2ant3 1082 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 Fn 𝑁)
23 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑎 = 𝑖 → ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎) = ((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖))
2423fveq2d 6162 . . . 4 (𝑎 = 𝑖 → (𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) = (𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)))
2524oveq1d 6630 . . 3 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))
26 ovexd 6645 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑎𝑁) → ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋)) ∈ V)
27 ovexd 6645 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) ∧ 𝑖𝑁) → ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)) ∈ V)
2822, 25, 26, 27fnmptfvd 6286 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ ∀𝑎𝑁 (𝑍𝑎) = ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑎)) / (𝐷𝑋))))
2918, 28mpbird 247 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑍𝑉 ∧ (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)) → 𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  Vcvv 3190  ⟨cop 4161   ↦ cmpt 4683   Fn wfn 5852  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↑𝑚 cmap 7817  Basecbs 15800  1rcur 18441  CRingccrg 18488  Unitcui 18579  /rcdvr 18622   Mat cmat 20153   maVecMul cmvmul 20286   matRepV cmatrepV 20303   maDet cmdat 20330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-splice 13259  df-reverse 13260  df-s2 13546  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-symg 17738  df-pmtr 17802  df-psgn 17851  df-evpm 17852  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-srg 18446  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mamu 20130  df-mat 20154  df-mvmul 20287  df-marrep 20304  df-marepv 20305  df-subma 20323  df-mdet 20331  df-minmar1 20381 This theorem is referenced by:  cramerlem2  20434  cramer  20437
 Copyright terms: Public domain W3C validator