Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 41008
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a circuit 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (#‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (𝜑𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (#‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 41004 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 breq12 4582 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄))
1110adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 41007 . . . . 5 (𝜑𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
1413adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
157a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
16 breq1 4580 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁𝑆)))
17 oveq1 6533 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1817fveq2d 6091 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
1917oveq1d 6541 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = ((0 + 𝑆) − 𝑁))
2019fveq2d 6091 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
2116, 18, 20ifbieq12d 4062 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
22 elfzo0le 12336 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆𝑁)
235, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑁)
241, 2, 3, 4crctcshlem1 41001 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2524nn0red 11201 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzoelz 12296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
2827zred 11316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2925, 28subge0d 10468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑆𝑁))
3023, 29mpbird 245 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3130adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3231iftrued 4043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
3321, 32sylan9eqr 2665 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
343adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
351, 2, 34, 4crctcshlem1 41001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 0elfz 12262 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
38 fvex 6097 . . . . . . 7 (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
4015, 33, 37, 39fvmptd 6181 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
41 breq1 4580 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆)))
42 oveq1 6533 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((#‘𝐻) + 𝑆))
4342fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)))
4442oveq1d 6541 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (#‘𝐻) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))
4544fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
4641, 43, 45ifbieq12d 4062 . . . . . . . 8 (𝑥 = (#‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
47 elfzoel2 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48 elfzonn0 12337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
49 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5049anim1i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
51 elnnne0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
5250, 51sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
5352nngt0d 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
54 zre 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
55 nn0re 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
5654, 55anim12ci 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5756adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
58 ltsubpos 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
5958bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
6153, 60mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
6261ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6347, 48, 62syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
645, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6564imp 443 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
671, 2, 34, 4, 66, 6crctcshlem2 41002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) = 𝑁)
6867breq1d 4587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6968notbid 306 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7025, 28resubcld 10309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
7170, 25jca 552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
73 ltnle 9968 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7569, 74bitr4d 269 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
7665, 75mpbird 245 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆))
7776iffalsed 4046 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if((#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
7846, 77sylan9eqr 2665 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
791, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 41002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
8079, 24eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11202 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℂ)
8227zcnd 11317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
8324nn0cnd 11202 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8481, 82, 83addsubd 10264 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((#‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
8579oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁𝑁))
8683subidd 10231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8785, 86eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐻) − 𝑁) = 0)
8887oveq1d 6541 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8984, 88eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
9089fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9190adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9291adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9378, 92eqtrd 2643 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9479adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) = 𝑁)
95 nn0fz0 12263 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9624, 95sylib 206 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
9796adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9894, 97eqeltrd 2687 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
9915, 93, 98, 39fvmptd 6181 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(#‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
10040, 99eqtr4d 2646 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))
10114, 100jca 552 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻))))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem3 41003 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
103102adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
104 isCrct 40977 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
105103, 104syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
106101, 105mpbird 245 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
10712, 106pm2.61dane 2868 1 (𝜑𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cr 9791  0cc0 9792   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10869  0cn0 11141  cz 11212  ...cfz 12154  ..^cfzo 12291  #chash 12936   cyclShift ccsh 13333  Vtxcvtx 40210  iEdgciedg 40211  TrailSctrls 40880  CircuitSccrcts 40971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-hash 12937  df-word 13102  df-concat 13104  df-substr 13106  df-csh 13334  df-1wlks 40781  df-trls 40882  df-crcts 40973
This theorem is referenced by:  eucrctshift  41392
  Copyright terms: Public domain W3C validator