MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshlem4 26915
Description: Lemma for crctcsh 26919. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshlem4 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem crctcshlem4
StepHypRef Expression
1 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2 oveq2 6813 . . . 4 (𝑆 = 0 → (𝐹 cyclShift 𝑆) = (𝐹 cyclShift 0))
3 crctcsh.d . . . . . 6 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctiswlk 26894 . . . . . 6 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5 crctcsh.i . . . . . . 7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
65wlkf 26712 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
73, 4, 63syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8 cshw0 13732 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 0) = 𝐹)
102, 9sylan9eqr 2808 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐹 cyclShift 𝑆) = 𝐹)
111, 10syl5eq 2798 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻 = 𝐹)
12 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
13 oveq2 6813 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 0 → (𝑁𝑆) = (𝑁 − 0))
14 crctcsh.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15 crctcsh.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (♯‘𝐹)
1614, 5, 3, 15crctcshlem1 26912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 11537 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1817subid1d 10565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1913, 18sylan9eqr 2808 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑁𝑆) = 𝑁)
2019breq2d 4808 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑥𝑁))
2120adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑥𝑁))
22 oveq2 6813 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
2322adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 + 𝑆) = (𝑥 + 0))
24 elfzelz 12527 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2524zcnd 11667 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625addid1d 10420 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2723, 26sylan9eq 2806 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) = 𝑥)
2827fveq2d 6348 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃𝑥))
2927oveq1d 6820 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = (𝑥𝑁))
3029fveq2d 6348 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(𝑥𝑁)))
3121, 28, 30ifbieq12d 4249 . . . . 5 (((𝜑𝑆 = 0) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁))))
3231mpteq2dva 4888 . . . 4 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))))
33 elfzle2 12530 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥𝑁)
3433adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥𝑁)
3534iftrued 4230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁))) = (𝑃𝑥))
3635mpteq2dva 4888 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)))
3714wlkp 26714 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
383, 4, 373syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
39 ffn 6198 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
4015eqcomi 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘𝐹) = 𝑁
4140oveq2i 6816 . . . . . . . . . . . 12 (0...(♯‘𝐹)) = (0...𝑁)
4241fneq2i 6139 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ↔ 𝑃 Fn (0...𝑁))
4339, 42sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃 Fn (0...𝑁))
4443adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 Fn (0...𝑁))
45 dffn5 6395 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn (0...𝑁) ↔ 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)))
4644, 45sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)))
4746eqcomd 2758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)) = 𝑃)
4838, 47mpdan 705 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑥)) = 𝑃)
4936, 48eqtrd 2786 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))) = 𝑃)
5049adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥𝑁, (𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥𝑁)))) = 𝑃)
5132, 50eqtrd 2786 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))) = 𝑃)
5212, 51syl5eq 2798 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝑄 = 𝑃)
5311, 52jca 555 1 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  0cc0 10120   + caddc 10123  cle 10259  cmin 10450  ...cfz 12511  ..^cfzo 12651  chash 13303  Word cword 13469   cyclShift ccsh 13726  Vtxcvtx 26065  iEdgciedg 26066  Walkscwlks 26694  Circuitsccrcts 26882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-hash 13304  df-word 13477  df-concat 13479  df-substr 13481  df-csh 13727  df-wlks 26697  df-trls 26791  df-crcts 26884
This theorem is referenced by:  crctcshwlk  26917  crctcsh  26919
  Copyright terms: Public domain W3C validator