MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crctcshtrl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcshtrl 26584
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a trail 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (#‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshtrl (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshtrl
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . 3 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . 3 𝑁 = (#‘𝐹)
5 crctcsh.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . 3 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . 3 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshwlk 26583 . 2 (𝜑𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
9 crctistrl 26559 . . . . 5 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
102trlf1 26464 . . . . . 6 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
11 df-f1 5852 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
12 iswrdi 13248 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
1312anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1411, 13sylbi 207 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
1510, 14syl 17 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
163, 9, 153syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹))
17 elfzoelz 12411 . . . . 5 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
185, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
19 df-3an 1038 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑆 ∈ ℤ))
2016, 18, 19sylanbrc 697 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ))
21 cshinj 13494 . . 3 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ Fun 𝐹𝑆 ∈ ℤ) → (𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆) → Fun 𝐻))
2220, 6, 21mpisyl 21 . 2 (𝜑 → Fun 𝐻)
23 istrl 26462 . 2 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ∧ Fun 𝐻))
248, 22, 23sylanbrc 697 1 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  dom cdm 5074  Fun wfun 5841  wf 5843  1-1wf1 5844  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   + caddc 9883  cle 10019  cmin 10210  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   cyclShift ccsh 13471  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  Walkscwlks 26362  Trailsctrls 26456  Circuitsccrcts 26548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-substr 13242  df-csh 13472  df-wlks 26365  df-trls 26458  df-crcts 26550
This theorem is referenced by:  crctcsh  26585  eucrctshift  26969
  Copyright terms: Public domain W3C validator