MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crcts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crcts 25889
Description: The set of circuits (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
crcts ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑉 Circuits 𝐸) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑝   𝑓,𝑉,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑓,𝑝)   𝑌(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem crcts
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3089 . 2 (𝑉𝑋𝑉 ∈ V)
2 elex 3089 . 2 (𝐸𝑌𝐸 ∈ V)
3 df-crct 25779 . . 3 Circuits = (𝑣 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑣 Trails 𝑒)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
4 biidd 250 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑣 = 𝑉𝑒 = 𝐸) → ((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)) ↔ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))))
5 id 22 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
6 trliswlk 25808 . . . . . 6 (𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝)
7 2mwlk 25788 . . . . . 6 (𝑓(𝑉 Walks 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
98gen2 1701 . . . 4 𝑓𝑝(𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉))
109a1i 11 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ∀𝑓𝑝(𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)))
11 dmexg 6864 . . . . . 6 (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
1211adantl 480 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → dom 𝐸 ∈ V)
13 wrdexg 13027 . . . . 5 (dom 𝐸 ∈ V → Word dom 𝐸 ∈ V)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → Word dom 𝐸 ∈ V)
15 fzfi 12500 . . . . 5 (0...(#‘𝑓)) ∈ Fin
16 simpll 785 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) → 𝑉 ∈ V)
17 mapex 7625 . . . . 5 (((0...(#‘𝑓)) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V) → {𝑝𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉} ∈ V)
1815, 16, 17sylancr 693 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑓 ∈ Word dom 𝐸) → {𝑝𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉} ∈ V)
1914, 18opabex3d 6911 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓 ∈ Word dom 𝐸𝑝:(0...(#‘𝑓))⟶𝑉)} ∈ V)
203, 4, 5, 10, 19sprmpt2d 7111 . 2 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 Circuits 𝐸) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
211, 2, 20syl2an 492 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑉 Circuits 𝐸) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑉 Trails 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wcel 1938  {cab 2500  Vcvv 3077   class class class wbr 4481  {copab 4540  dom cdm 4932  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  Fincfn 7716  0cc0 9690  ...cfz 12064  #chash 12846  Word cword 13003   Walks cwalk 25765   Trails ctrail 25766   Circuits ccrct 25773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-pm 7622  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-card 8523  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-nn 10775  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-fz 12065  df-fzo 12202  df-hash 12847  df-word 13011  df-wlk 25775  df-trail 25776  df-crct 25779
This theorem is referenced by:  iscrct  25891
  Copyright terms: Public domain W3C validator