MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  creui Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem creui 10862
Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
creui (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creui
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9892 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2 simpr 475 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
3 eqcom 2616 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
4 cru 10859 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
54ancoms 467 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
63, 5syl5bb 270 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
76anass1rs 844 . . . . . . . 8 ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
87rexbidva 3030 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤)))
9 biidd 250 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑤𝑦 = 𝑤))
109ceqsrexv 3305 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
1110ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = 𝑧𝑦 = 𝑤) ↔ 𝑦 = 𝑤))
128, 11bitrd 266 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
1312ralrimiva 2948 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤))
14 reu6i 3363 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑦 = 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
152, 13, 14syl2anc 690 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16 eqeq1 2613 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1716rexbidv 3033 . . . . 5 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1817reubidv 3102 . . . 4 (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
1915, 18syl5ibrcom 235 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
2019rexlimivv 3017 . 2 (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
211, 20syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℝ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  ∃!wreu 2897  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  ici 9794   + caddc 9795   · cmul 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator