MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crreczi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crreczi 13203
Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
crrecz.1 𝐴 ∈ ℝ
crrecz.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
crreczi ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem crreczi
StepHypRef Expression
1 crrecz.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
21recni 10264 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
32sqcli 13158 . . . . . 6 (𝐴↑2) ∈ ℂ
4 ax-icn 10207 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
5 crrecz.2 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ ℝ
65recni 10264 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℂ
74, 6mulcli 10257 . . . . . . 7 (i · 𝐵) ∈ ℂ
87sqcli 13158 . . . . . 6 ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℂ
93, 8negsubi 10571 . . . . 5 ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2))
104, 6sqmuli 13161 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))
11 i2 13179 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
1211oveq1i 6824 . . . . . . . . 9 ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · (𝐵↑2))
13 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
146sqcli 13158 . . . . . . . . . 10 (𝐵↑2) ∈ ℂ
1513, 14mulneg1i 10688 . . . . . . . . 9 (-1 · (𝐵↑2)) = -(1 · (𝐵↑2))
1610, 12, 153eqtri 2786 . . . . . . . 8 ((i · 𝐵)↑2) = -(1 · (𝐵↑2))
1716negeqi 10486 . . . . . . 7 -((i · 𝐵)↑2) = --(1 · (𝐵↑2))
1813, 14mulcli 10257 . . . . . . . 8 (1 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ
1918negnegi 10563 . . . . . . 7 --(1 · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2))
2014mulid2i 10255 . . . . . . 7 (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2)
2117, 19, 203eqtri 2786 . . . . . 6 -((i · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2)
2221oveq2i 6825 . . . . 5 ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
232, 7subsqi 13189 . . . . 5 ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵)))
249, 22, 233eqtr3ri 2791 . . . 4 ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2524oveq1i 6824 . . 3 (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26 neorian 3026 . . . . 5 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
27 sumsqeq0 13156 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))
281, 5, 27mp2an 710 . . . . . 6 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0)
2928necon3bbii 2979 . . . . 5 (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
3026, 29bitri 264 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
312, 7addcli 10256 . . . . 5 (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ
322, 7subcli 10569 . . . . 5 (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ
333, 14addcli 10256 . . . . 5 ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ
3431, 32, 33divasszi 10987 . . . 4 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
3530, 34sylbi 207 . . 3 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
36 divid 10926 . . . . 5 ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
3733, 36mpan 708 . . . 4 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
3830, 37sylbi 207 . . 3 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
3925, 35, 383eqtr3a 2818 . 2 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1)
4032, 33divclzi 10972 . . . 4 (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
4130, 40sylbi 207 . . 3 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
4231a1i 11 . . 3 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
43 crne0 11225 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0))
441, 5, 43mp2an 710 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
4544biimpi 206 . . 3 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
46 divmul 10900 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
4713, 46mp3an1 1560 . . 3 ((((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
4841, 42, 45, 47syl12anc 1475 . 2 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
4939, 48mpbird 247 1 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  ici 10150   + caddc 10151   · cmul 10153  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  2c2 11282  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator