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Theorem csbren 23090
Description: Cauchy-Schwarz-Bunjakovsky inequality for R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
csbrn.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
csbrn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
csbren (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem csbren
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 11035 . . . . 5 2 ∈ ℂ
2 csbrn.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 csbrn.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 csbrn.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4remulcld 10014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
62, 5fsumrecl 14398 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
76recnd 10012 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8 sqmul 12866 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
91, 7, 8sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
10 sq2 12900 . . . . 5 (2↑2) = 4
1110oveq1i 6614 . . . 4 ((2↑2) · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2))
129, 11syl6eq 2671 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) = (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)))
133resqcld 12975 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 14398 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) ∈ ℝ)
15 2re 11034 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
16 remulcl 9965 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
1715, 6, 16sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
184resqcld 12975 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
192, 18fsumrecl 14398 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2) ∈ ℝ)
202adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ Fin)
2113adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
22 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
2322resqcld 12975 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
2421, 23remulcld 10014 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
25 remulcl 9965 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2615, 5, 25sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2726adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2827, 22remulcld 10014 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℝ)
2924, 28readdcld 10013 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
3018adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℝ)
3129, 30readdcld 10013 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
323adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3332, 22remulcld 10014 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℝ)
344adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3533, 34readdcld 10013 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶) ∈ ℝ)
3635sqge0d 12976 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2))
3733recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ)
3834recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 binom2 12919 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4037, 38, 39syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4132recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4222recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
4341, 42sqmuld 12960 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
4441, 42, 38mul32d 10190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
4544oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
46 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 2 ∈ ℂ)
475adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
4847recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
4946, 48, 42mulassd 10007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (2 · ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
5045, 49eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶)) = ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
5143, 50oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) = (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
5251oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((((𝐵 · 𝑥)↑2) + (2 · ((𝐵 · 𝑥) · 𝐶))) + (𝐶↑2)) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5340, 52eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)↑2) = ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5436, 53breqtrd 4639 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5520, 31, 54fsumge0 14454 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)))
5624recnd 10012 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
5728recnd 10012 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) ∈ ℂ)
5856, 57addcld 10003 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
5930recnd 10012 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
6020, 58, 59fsumadd 14403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
6120, 56, 57fsumadd 14403 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6362recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6463sqcld 12946 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
6521recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
6620, 64, 65fsummulc1 14445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) = Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)))
67 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
6820, 67, 48fsummulc2 14444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) = Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)))
6968oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7026recnd 10012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7170adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (2 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
7220, 63, 71fsummulc1 14445 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7369, 72eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥) = Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥))
7466, 73oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = (Σ𝑘𝐴 ((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + Σ𝑘𝐴 ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7561, 74eqtr4d 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) = ((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)))
7675oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (Σ𝑘𝐴 (((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7760, 76eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → Σ𝑘𝐴 ((((𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + (𝐶↑2)) = (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7855, 77breqtrd 4639 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · (𝑥↑2)) + ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)) · 𝑥)) + Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
7914, 17, 19, 78discr 12941 . . . 4 (𝜑 → (((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0)
8017resqcld 12975 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
81 4re 11041 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8214, 19remulcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
83 remulcl 9965 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ) → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8481, 82, 83sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))) ∈ ℝ)
8580, 84suble0d 10562 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) − (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))) ≤ 0 ↔ ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
8679, 85mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((2 · Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))↑2) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
8712, 86eqbrtrrd 4637 . 2 (𝜑 → (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2))))
886resqcld 12975 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ)
8981a1i 11 . . 3 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
90 4pos 11060 . . . 4 0 < 4
9190a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 < 4)
92 lemul2 10820 . . 3 (((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9388, 82, 89, 91, 92syl112anc 1327 . 2 (𝜑 → ((Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)) ↔ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2)) ≤ (4 · (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))))
9487, 93mpbird 247 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)↑2) ≤ (Σ𝑘𝐴 (𝐵↑2) · Σ𝑘𝐴 (𝐶↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  2c2 11014  4c4 11016  cexp 12800  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  trirn  23091
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