MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshco 13563
Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6032 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1082 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 cshwfn 13528 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)))
433adant3 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)))
5 cshwrn 13529 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
653adant3 1079 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7 fnco 5987 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(#‘𝑊)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1324 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(#‘𝑊)))
9 wrdco 13558 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
1093adant2 1078 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
11 simp2 1060 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 cshwfn 13528 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
1310, 11, 12syl2anc 692 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
14 lenco 13559 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
15143adant2 1078 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
1615oveq2d 6651 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(𝐹𝑊))) = (0..^(#‘𝑊)))
1716fneq2d 5970 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘(𝐹𝑊))) ↔ ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊))))
1813, 17mpbid 222 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)))
1915adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
2019oveq2d 6651 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
2120fveq2d 6182 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
2221fveq2d 6182 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))))
23 wrdfn 13302 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
24233ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
2524adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
26 elfzoelz 12454 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27 zaddcl 11402 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
2826, 11, 27syl2anr 495 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 elfzo0 12492 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (#‘𝑊)))
3029simp2bi 1075 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
3130adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
32 zmodfzo 12676 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3328, 31, 32syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3415oveq2d 6651 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
3534eleq1d 2684 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
3635adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
3733, 36mpbird 247 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
38 fvco2 6260 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))))))
3925, 37, 38syl2anc 692 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))))))
40 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4111adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpr 477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
43 cshwidxmod 13530 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
4443fveq2d 6182 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))))
4540, 41, 42, 44syl3anc 1324 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))))
4622, 39, 453eqtr4rd 2665 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))))
47 fvco2 6260 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
484, 47sylan 488 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
4910adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
5015eqcomd 2626 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑊) = (#‘(𝐹𝑊)))
5150oveq2d 6651 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
5251eleq2d 2685 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊)))))
5352biimpa 501 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
54 cshwidxmod 13530 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊)))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))))
5549, 41, 53, 54syl3anc 1324 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))))
5646, 48, 553eqtr4d 2664 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
578, 18, 56eqfnfvd 6300 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567   class class class wbr 4644  ran crn 5105  ccom 5108   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921   + caddc 9924   < clt 10059  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  ..^cfzo 12449   mod cmo 12651  #chash 13100  Word cword 13274   cyclShift ccsh 13515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-substr 13286  df-csh 13516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator