MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshco 13376
Description: Mapping of words commutes with the "cyclical shift" operation. (Contributed by AV, 12-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))

Proof of Theorem cshco
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5941 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1076 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 cshwfn 13341 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)))
433adant3 1073 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)))
5 cshwrn 13342 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
653adant3 1073 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴)
7 fnco 5896 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ ran (𝑊 cyclShift 𝑁) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(#‘𝑊)))
82, 4, 6, 7syl3anc 1317 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) Fn (0..^(#‘𝑊)))
9 wrdco 13371 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
1093adant2 1072 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
11 simp2 1054 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 cshwfn 13341 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
1310, 11, 12syl2anc 690 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
14 lenco 13372 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
15143adant2 1072 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
1615oveq2d 6540 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(𝐹𝑊))) = (0..^(#‘𝑊)))
1716fneq2d 5879 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘(𝐹𝑊))) ↔ ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊))))
1813, 17mpbid 220 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)))
1915adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
2019oveq2d 6540 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
2120fveq2d 6089 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
2221fveq2d 6089 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))))
23 wrdfn 13117 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
24233ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
2524adantr 479 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
26 elfzoelz 12291 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
27 zaddcl 11247 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
2826, 11, 27syl2anr 493 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 elfzo0 12328 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (#‘𝑊)))
3029simp2bi 1069 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
3130adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
32 zmodfzo 12507 . . . . . . 7 (((𝑖 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3328, 31, 32syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3415oveq2d 6540 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) = ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
3534eleq1d 2668 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
3635adantr 479 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
3733, 36mpbird 245 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
38 fvco2 6165 . . . . 5 ((𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ ((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))))))
3925, 37, 38syl2anc 690 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊))))))
40 simpl1 1056 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4111adantr 479 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpr 475 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
43 cshwidxmod 13343 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖) = (𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
4443fveq2d 6089 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))))
4540, 41, 42, 44syl3anc 1317 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘𝑊)))))
4622, 39, 453eqtr4rd 2651 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))))
47 fvco2 6165 . . . 4 (((𝑊 cyclShift 𝑁) Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
484, 47sylan 486 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 cyclShift 𝑁)‘𝑖)))
4910adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵)
5015eqcomd 2612 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (#‘𝑊) = (#‘(𝐹𝑊)))
5150oveq2d 6540 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
5251eleq2d 2669 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊)))))
5352biimpa 499 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊))))
54 cshwidxmod 13343 . . . 4 (((𝐹𝑊) ∈ Word 𝐵𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊)))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))))
5549, 41, 53, 54syl3anc 1317 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖) = ((𝐹𝑊)‘((𝑖 + 𝑁) mod (#‘(𝐹𝑊)))))
5646, 48, 553eqtr4d 2650 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁))‘𝑖) = (((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁)‘𝑖))
578, 18, 56eqfnfvd 6204 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 cyclShift 𝑁)) = ((𝐹𝑊) cyclShift 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3536   class class class wbr 4574  ran crn 5026  ccom 5029   Fn wfn 5782  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  0cc0 9789   + caddc 9792   < clt 9927  cn 10864  0cn0 11136  cz 11207  ..^cfzo 12286   mod cmo 12482  #chash 12931  Word cword 13089   cyclShift ccsh 13328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-inf 8206  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-mod 12483  df-hash 12932  df-word 13097  df-concat 13099  df-substr 13101  df-csh 13329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator