Theorem cshwidx0 13345

Description: The symbol at index 0 of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at index N of the original word. (Contributed by AV, 15-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidx0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

Proof of Theorem cshwidx0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheq0 12963	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
2		elfzo0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)))
3		elnnne0 11149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
4		eqneqall 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
5	4	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ≠ 0 → ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
6	5	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
7	3, 6	sylbi 205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
8	7	3ad2ant2 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
9	2, 8	sylbi 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) = 0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
10	9	com13 85	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = 0 → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
11	1, 10	sylbird 248	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 = ∅ → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
12	11	com23 83	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))))
13	12	imp 443	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 = ∅ → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
14	13	com12 32	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
15		simpl 471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	15	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		simpl 471	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → 𝑊 ≠ ∅)
18		elfzoelz 12290	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	ad2antll 760	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		cshwidx0mod 13344	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (#‘𝑊))))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1317	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘(𝑁 mod (#‘𝑊))))
22		zmodidfzoimp 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) = 𝑁)
23	22	ad2antll 760	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) = 𝑁)
24	23	fveq2d 6088	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → (𝑊‘(𝑁 mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝑁))
25	21, 24	eqtrd 2639	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))
26	25	ex 448	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁)))
27	14, 26	pm2.61ine 2860	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘0) = (𝑊‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1975   ≠ wne 2775  ∅c0 3869   class class class wbr 4573  ‘cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788   < clt 9926  ℕcn 10863  ℕ₀cn0 11135  ℤcz 11206  ..^cfzo 12285   mod cmo 12481  #chash 12930  Word cword 13088   cyclShift ccsh 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-substr 13100  df-csh 13328

This theorem is referenced by:  clwwisshclww  26097  clwwisshclwws  41233