MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxm1 13599
Description: The symbol at index ((n-N)-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions is the symbol at index (n-1) of the original word. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxm1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))

Proof of Theorem cshwidxm1
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzoelz 12509 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 ubmelm1fzo 12604 . . . 4 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
54adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
6 cshwidxmod 13595 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1366 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘(((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
8 elfzoel2 12508 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
98zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
102zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11 1cnd 10094 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
12 nnpcan 10342 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) − 1))
139, 10, 11, 12syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) − 1))
1413oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)))
1514adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)))
16 elfzo0 12548 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)))
17 nnre 11065 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
18 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℝ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ)
20 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
2119, 20jca 553 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
22213ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
2316, 22sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
24 nnm1ge0 11483 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ≤ ((#‘𝑊) − 1))
25243ad2ant2 1103 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (#‘𝑊)) → 0 ≤ ((#‘𝑊) − 1))
2616, 25sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 ≤ ((#‘𝑊) − 1))
27 zre 11419 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2827ltm1d 10994 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
298, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))
3023, 26, 29jca32 557 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((#‘𝑊) − 1) ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))))
3130adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((#‘𝑊) − 1) ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))))
32 modid 12735 . . . . 5 (((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((#‘𝑊) − 1) ∧ ((#‘𝑊) − 1) < (#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − 1))
3331, 32syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) mod (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − 1))
3415, 33eqtrd 2685 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − 1))
3534fveq2d 6233 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(((((#‘𝑊) − 𝑁) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
367, 35eqtrd 2685 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘(((#‘𝑊) − 𝑁) − 1)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  ..^cfzo 12504   mod cmo 12708  #chash 13157  Word cword 13323   cyclShift ccsh 13580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-csh 13581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator