MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxmodr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxmodr 13750
Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxmodr ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem cshwidxmodr
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12703 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
2 nn0z 11592 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
323ad2ant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
4 zsubcl 11611 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℤ)
53, 4sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℤ)
6 simpl2 1230 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
75, 6jca 555 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
87ex 449 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
91, 8sylbi 207 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)))
109impcom 445 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11103adant1 1125 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
12 zmodfzo 12887 . . . 4 (((𝐼𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14 cshwidxmod 13749 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
1513, 14syld3an3 1516 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))))
16 elfzoelz 12664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
1817, 4sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℤ)
1918zred 11674 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼𝑁) ∈ ℝ)
20 zre 11573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22 nnrp 12035 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
2322ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
24 modaddmod 12903 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
2519, 21, 23, 24syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (((𝐼𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)))
26 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
28 zcn 11574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29 npcan 10482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
3027, 28, 29syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
3130oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼𝑁) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = (𝐼 mod (♯‘𝑊)))
32 zmodidfzoimp 12894 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3332ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3425, 31, 333eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊)) = 𝐼)
3534fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
3635ex 449 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼)))
3736ex 449 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))))
38373adant3 1127 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))))
391, 38sylbi 207 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))))
4039pm2.43i 52 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼)))
4140impcom 445 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
42413adant1 1125 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊)) + 𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
4315, 42eqtrd 2794 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼𝑁) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131   < clt 10266  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  ..^cfzo 12659   mod cmo 12862  chash 13311  Word cword 13477   cyclShift ccsh 13734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-substr 13489  df-csh 13735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator