MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwidxn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwidxn 13355
Description: The symbol at index (n-1) of a word of length n (not 0) cyclically shifted by N positions (not 0) is the symbol at index (N-1) of the original word. (Contributed by AV, 18-May-2018.) (Revised by AV, 21-May-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwidxn ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem cshwidxn
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfzelz 12171 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfz1b 12237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)))
5 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
64, 5sylbi 206 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
76adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
8 fzo0end 12384 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
10 cshwidxmod 13349 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
111, 3, 9, 10syl3anc 1318 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
12 nncn 10878 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
14 1cnd 9913 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
15 nncn 10878 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1713, 14, 163jca 1235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
18173adant3 1074 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
194, 18sylbi 206 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ))
20 subadd23 10145 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) = ((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)))
2221oveq1d 6542 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (#‘𝑊)))
23 nnm1nn0 11184 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
24233ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25 simp3 1056 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (#‘𝑊))
26 nnz 11235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
27 nnz 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
2826, 27anim12i 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ))
29283adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ))
30 zlem1lt 11265 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
3225, 31mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → (𝑁 − 1) < (#‘𝑊))
3324, 5, 323jca 1235 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (#‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
344, 33sylbi 206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)))
35 addmodid 12538 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
3634, 35syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) + (𝑁 − 1)) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
3722, 36eqtrd 2644 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 − 1))
3837fveq2d 6092 . . 3 (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊)) → (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3938adantl 481 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((#‘𝑊) − 1) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
4011, 39eqtrd 2644 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213  ...cfz 12155  ..^cfzo 12292   mod cmo 12488  #chash 12937  Word cword 13095   cyclShift ccsh 13334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-mod 12489  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-substr 13107  df-csh 13335
This theorem is referenced by:  lswcshw  13361
  Copyright terms: Public domain W3C validator