MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwmodn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwmodn 13587
Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding modulo the word's length. (Contributed by AV, 26-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwmodn ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwmodn
StepHypRef Expression
1 0csh0 13585 . . . 4 (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2 oveq1 6697 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = (∅ cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
4 0csh0 13585 . . . . 5 (∅ cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = ∅
53, 4syl6eq 2701 . . . 4 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = ∅)
61, 2, 53eqtr4a 2711 . . 3 (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
76a1d 25 . 2 (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊)))))
8 lennncl 13357 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
9 zre 11419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
11 modabs2 12744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 mod (#‘𝑊)))
129, 10, 11syl2anr 494 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)) = (𝑁 mod (#‘𝑊)))
1312opeq1d 4439 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩ = ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩)
1413oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩))
1512opeq2d 4440 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩ = ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩)
1615oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩) = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩))
1714, 16oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (((#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩)))
1817ex 449 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩))))
198, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩))))
2019impancom 455 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩))))
2120impcom 445 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩)))
22 simprl 809 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
23 simprr 811 . . . . . . 7 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
248ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
2524adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ≠ ∅ → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
2625impcom 445 . . . . . . 7 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
2723, 26zmodcld 12731 . . . . . 6 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11518 . . . . 5 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
29 cshword 13583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (#‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)))
3022, 28, 29syl2anc 694 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, ((𝑁 mod (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))⟩)))
31 cshword 13583 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩)))
3231adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (#‘𝑊)), (#‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 mod (#‘𝑊))⟩)))
3321, 30, 323eqtr4rd 2696 . . 3 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
3433ex 449 . 2 (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊)))))
357, 34pm2.61ine 2906 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  c0 3948  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  cn 11058  cz 11415  +crp 11870   mod cmo 12708  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327   cyclShift ccsh 13580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335  df-csh 13581
This theorem is referenced by:  cshwsublen  13588  cshwn  13589
  Copyright terms: Public domain W3C validator