MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsdisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsdisj 16007
Description: The singletons resulting by cyclically shifting a given word of length being a prime number and not consisting of identical symbols is a disjoint collection. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
Assertion
Ref Expression
cshwsdisj ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem cshwsdisj
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 399 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
3 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)))
4 simprrl 823 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5 simprrr 824 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 necom 2985 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑗𝑗𝑛)
76biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑗𝑗𝑛)
87adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → 𝑗𝑛)
9 cshwshash.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
109cshwshashlem3 16006 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗𝑛) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗)))
1110imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗𝑛)) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
123, 4, 5, 8, 11syl13anc 1479 . . . . . . 7 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗))
13 disjsn2 4391 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 𝑛) ≠ (𝑊 cyclShift 𝑗) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)
1514olcd 407 . . . . 5 ((𝑛𝑗 ∧ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
1615ex 449 . . . 4 (𝑛𝑗 → (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅)))
172, 16pm2.61ine 3015 . . 3 (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → (𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
1817ralrimivva 3109 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
19 oveq2 6821 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (𝑊 cyclShift 𝑛) = (𝑊 cyclShift 𝑗))
2019sneqd 4333 . . 3 (𝑛 = 𝑗 → {(𝑊 cyclShift 𝑛)} = {(𝑊 cyclShift 𝑗)})
2120disjor 4786 . 2 (Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)} ↔ ∀𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊))∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑛 = 𝑗 ∨ ({(𝑊 cyclShift 𝑛)} ∩ {(𝑊 cyclShift 𝑗)}) = ∅))
2218, 21sylibr 224 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → Disj 𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑊)){(𝑊 cyclShift 𝑛)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cin 3714  c0 4058  {csn 4321  Disj wdisj 4772  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   cyclShift ccsh 13734  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-substr 13489  df-reps 13492  df-csh 13735  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-phi 15673
This theorem is referenced by:  cshwshashnsame  16012
  Copyright terms: Public domain W3C validator