MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashlem2 15727
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ))
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6611 . . . . . . . 8 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)))
21eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)))
32ad2antrr 761 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)))
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ))
54simpld 475 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑉)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 elfzofz 12426 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)))
1093ad2ant2 1081 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)))
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)))
12 elfzofz 12426 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
13 fznn0sub2 12387 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
15143ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
17 elfzo0 12449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)))
18 zre 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
20 nnre 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
21 nn0re 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
22 resubcl 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2320, 21, 22syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
2620adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2825, 27jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
2928ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
30 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
3129, 30syl11 33 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
32313adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
3317, 32sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
3433imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
35343adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
36 fzonmapblen 12454 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) < (#‘𝑊))
37 ltle 10070 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) < (#‘𝑊) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))
3938adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))
40 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
41 elfzelz 12284 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
42413ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4342adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
44 elfzelz 12284 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
45443ad2ant2 1081 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
4645adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
47 2cshw 13496 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
4840, 43, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
498, 11, 16, 39, 48syl13anc 1325 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
50123ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
51 elfzelz 12284 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
52 2cshwid 13497 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
5351, 52sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
547, 50, 53syl2an 494 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
553, 49, 543eqtr3d 2663 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
56 simplrl 799 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
57 simplrr 800 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
58 3simpa 1056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
5917, 58sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
60 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
61 nn0z 11344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
62 zsubcl 11363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
6360, 61, 62syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
6463anim2i 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
6564ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
66 zaddcl 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
6859, 30, 67syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
69683adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
70 elfzo0 12449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (#‘𝑊)))
71 elnn0z 11334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
7218ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
73233adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
75 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
76 posdif 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (#‘𝑊) ↔ 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿)))
7721, 20, 76syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (#‘𝑊) ↔ 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿)))
7877biimp3a 1429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿))
8072, 74, 75, 79addgegt0d 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)))
8180ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8271, 81sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
83823ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (#‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8470, 83sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8617, 85sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8786imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)))
88873adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)))
89 elnnz 11331 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
9069, 88, 89sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
9117simp2bi 1075 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
92913ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
93 elfzo1 12458 . . . . . . . 8 ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) < (#‘𝑊)))
9490, 92, 36, 93syl3anbrc 1244 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊)))
9594adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊)))
964cshwshashlem1 15726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
9756, 57, 95, 96syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
9855, 97pm2.21ddne 2874 . . . 4 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
9998ex 450 . . 3 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
10099ex 450 . 2 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
101 2a1 28 . 2 ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
102100, 101pm2.61ine 2873 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   cyclShift ccsh 13471  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-substr 13242  df-reps 13245  df-csh 13472  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-phi 15395
This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  15728
  Copyright terms: Public domain W3C validator