MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwsublen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwsublen 13335
Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding subtraction of the word's length. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshwsublen ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsublen
StepHypRef Expression
1 oveq2 6531 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 0 → (𝑁 − (#‘𝑊)) = (𝑁 − 0))
2 zcn 11211 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32subid1d 10228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
43adantl 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
51, 4sylan9eq 2659 . . . . 5 (((#‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 − (#‘𝑊)) = 𝑁)
65eqcomd 2611 . . . 4 (((#‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 − (#‘𝑊)))
76oveq2d 6539 . . 3 (((#‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))
87ex 448 . 2 ((#‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊)))))
9 zre 11210 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
109adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 lencl 13121 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
13 elnnne0 11149 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
14 nnrp 11670 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
1513, 14sylbir 223 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
1615ex 448 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
1817adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
1918impcom 444 . . . . . . 7 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
2011, 19jca 552 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
21 modeqmodmin 12553 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) = ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) = ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)))
2322oveq2d 6539 . . . 4 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))))
24 cshwmodn 13334 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
2524adantl 480 . . . 4 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
26 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2712nn0zd 11308 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
28 zsubcl 11248 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
2927, 28sylan2 489 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
3029ancoms 467 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
3126, 30jca 552 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ))
3231adantl 480 . . . . 5 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ))
33 cshwmodn 13334 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))))
3523, 25, 343eqtr4d 2649 . . 3 (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))
3635ex 448 . 2 ((#‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊)))))
378, 36pm2.61ine 2860 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  cfv 5786  (class class class)co 6523  cr 9787  0cc0 9788  cmin 10113  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  +crp 11660   mod cmo 12481  #chash 12930  Word cword 13088   cyclShift ccsh 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-substr 13100  df-csh 13328
This theorem is referenced by:  2cshwcshw  13364  cshwcsh2id  13367
  Copyright terms: Public domain W3C validator