HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  csmdsymi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csmdsymi 28379
Description: Cross-symmetry implies M-symmetry. Theorem 1.9.1 of [MaedaMaeda] p. 3. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
csmdsym.1 𝐴C
csmdsym.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
csmdsymi ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
Distinct variable group:   𝐵,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑐)

Proof of Theorem csmdsymi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3762 . . . . . 6 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
21sseq1i 3587 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐵𝐴) ⊆ 𝑥)
32biimpri 216 . . . 4 ((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑥)
4 csmdsym.2 . . . . . . . . . 10 𝐵C
5 chjcom 27551 . . . . . . . . . 10 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
64, 5mpan2 702 . . . . . . . . 9 (𝑥C → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
76ineq1d 3770 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = ((𝐵 𝑥) ∩ 𝐴))
8 incom 3762 . . . . . . . 8 ((𝐵 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥))
97, 8syl6eq 2655 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
109ad2antlr 758 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
114a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐵C )
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝑥C )
13 csmdsym.1 . . . . . . . . . 10 𝐴C
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥C𝐴C )
1511, 12, 143jca 1234 . . . . . . . 8 (𝑥C → (𝐵C𝑥C𝐴C ))
1615ad2antlr 758 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝐵C𝑥C𝐴C ))
17 inss2 3791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
18 ssid 3582 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵𝐵
1917, 18pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)
20 sseq2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0)))
21 sseq1 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥𝐴 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴))
2220, 21anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ↔ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴)))
23223anbi2d 1395 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) ↔ (𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵))))
24 breq1 4576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (𝑥 𝑀 𝐵 ↔ if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵))
2523, 24imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = if(𝑥C , 𝑥, 0) → (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑥 𝑀 𝐵) ↔ ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵)))
26 h0elch 27298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0C
2726elimel 4095 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑥C , 𝑥, 0) ∈ C
2813, 4, 27, 4mdslmd4i 28378 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ if(𝑥C , 𝑥, 0) ∧ if(𝑥C , 𝑥, 0) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → if(𝑥C , 𝑥, 0) 𝑀 𝐵)
2925, 28dedth 4084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥C → ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑥 𝑀 𝐵))
3029com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝐵)) → (𝑥C𝑥 𝑀 𝐵))
3119, 30mp3an3 1404 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝑥C𝑥 𝑀 𝐵))
3231imp 443 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵 ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) ∧ 𝑥C ) → 𝑥 𝑀 𝐵)
3332an32s 841 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 𝑀 𝐵)
3433adantlll 749 . . . . . . . 8 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 𝑀 𝐵)
35 breq1 4576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑥 → (𝑐 𝑀 𝐵𝑥 𝑀 𝐵))
36 breq2 4577 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑥 → (𝐵 𝑀* 𝑐𝐵 𝑀* 𝑥))
3735, 36imbi12d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑥 → ((𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ↔ (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥)))
3837rspccva 3276 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
3938adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
4039adantr 479 . . . . . . . 8 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → (𝑥 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑥))
4134, 40mpd 15 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 𝑀* 𝑥)
42 simprr 791 . . . . . . 7 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥𝐴)
43 dmdi 28347 . . . . . . 7 (((𝐵C𝑥C𝐴C ) ∧ (𝐵 𝑀* 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
4416, 41, 42, 43syl12anc 1315 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝑥)))
4513, 4chincli 27505 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ∈ C
46 chjcom 27551 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ C𝑥C ) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
4745, 46mpan 701 . . . . . . . 8 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐴𝐵)))
481oveq2i 6534 . . . . . . . 8 (𝑥 (𝐴𝐵)) = (𝑥 (𝐵𝐴))
4947, 48syl6eq 2655 . . . . . . 7 (𝑥C → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5049ad2antlr 758 . . . . . 6 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝐴𝐵) ∨ 𝑥) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5110, 44, 503eqtr2d 2645 . . . . 5 ((((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) ∧ ((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴)) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴)))
5251ex 448 . . . 4 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (((𝐴𝐵) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
533, 52sylani 683 . . 3 (((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) ∧ 𝑥C ) → (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
5453ralrimiva 2944 . 2 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → ∀𝑥C (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
554, 13mdsl2bi 28368 . 2 (𝐵 𝑀 𝐴 ↔ ∀𝑥C (((𝐵𝐴) ⊆ 𝑥𝑥𝐴) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (𝑥 (𝐵𝐴))))
5654, 55sylibr 222 1 ((∀𝑐C (𝑐 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝑐) ∧ 𝐴 𝑀 𝐵) → 𝐵 𝑀 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  cin 3534  wss 3535  ifcif 4031   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523   C cch 26972   chj 26976  0c0h 26978   𝑀 cmd 27009   𝑀* cdmd 27010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868  ax-hilex 27042  ax-hfvadd 27043  ax-hvcom 27044  ax-hvass 27045  ax-hv0cl 27046  ax-hvaddid 27047  ax-hfvmul 27048  ax-hvmulid 27049  ax-hvmulass 27050  ax-hvdistr1 27051  ax-hvdistr2 27052  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128  ax-hcompl 27245
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-lm 20781  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cfil 22775  df-cau 22776  df-cmet 22777  df-grpo 26493  df-gid 26494  df-ginv 26495  df-gdiv 26496  df-ablo 26548  df-vc 26563  df-nv 26611  df-va 26614  df-ba 26615  df-sm 26616  df-0v 26617  df-vs 26618  df-nmcv 26619  df-ims 26620  df-dip 26737  df-ssp 26761  df-ph 26854  df-cbn 26905  df-hnorm 27011  df-hba 27012  df-hvsub 27014  df-hlim 27015  df-hcau 27016  df-sh 27250  df-ch 27264  df-oc 27295  df-ch0 27296  df-shs 27353  df-chj 27355  df-md 28325  df-dmd 28326
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator