MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csscld 22956
Description: A "closed subspace" in a complex pre-Hilbert space is actually closed in the topology induced by the norm, thus justifying the terminology "closed subspace". (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
csscld.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
csscld.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
csscld ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem csscld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
2 csscld.c . . . . 5 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
31, 2cssi 19947 . . . 4 (𝑆𝐶𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
43adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 = ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)))
5 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
65, 1ocvss 19933 . . . . 5 ((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊)
7 eqid 2621 . . . . . 6 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
105, 7, 8, 9, 1ocvval 19930 . . . . 5 (((ocv‘𝑊)‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
116, 10mp1i 13 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
12 riinrab 4562 . . . 4 ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)(𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
1311, 12syl6eqr 2673 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((ocv‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑆)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
14 cphnlm 22880 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑊 ∈ NrmMod)
16 nlmngp 22391 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
17 ngptps 22316 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑊 ∈ TopSp)
19 csscld.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
205, 19istps 20651 . . . . . 6 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
2118, 20sylib 208 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
22 toponuni 20642 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → (Base‘𝑊) = 𝐽)
2423ineq1d 3791 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ((Base‘𝑊) ∩ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) = ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
254, 13, 243eqtrd 2659 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 = ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}))
26 topontop 20641 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ Top)
2721, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
286sseli 3579 . . . . 5 (𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
29 fvex 6158 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
30 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
3130mptiniseg 5588 . . . . . . 7 ((0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
3229, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}
33 eqid 2621 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
34 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3521adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
3635cnmptid 21374 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑥) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
37 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
3835, 35, 37cnmptc 21375 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
3919, 33, 7, 34, 35, 36, 38cnmpt1ip 22954 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4033cnfldhaus 22498 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
41 cphclm 22897 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
428clm0 22780 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4443ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
45 0cn 9976 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
4644, 45syl6eqelr 2707 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ)
4733cnfldtopon 22496 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4847toponunii 20647 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4948sncld 21085 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ ℂ) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
5040, 46, 49sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
51 cnclima 20982 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ {(0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5239, 50, 51syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦)) “ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5332, 52syl5eqelr 2703 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
5428, 53sylan2 491 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) ∧ 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆)) → {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
5554ralrimiva 2960 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽))
56 eqid 2621 . . . 4 𝐽 = 𝐽
5756riincld 20758 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ∈ (Clsd‘𝐽)) → ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5827, 55, 57syl2anc 692 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → ( 𝐽 𝑦 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝑆){𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))}) ∈ (Clsd‘𝐽))
5925, 58eqeltrd 2698 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  {csn 4148   cuni 4402   ciin 4486  cmpt 4673  ccnv 5073  cima 5077  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  ·𝑖cip 15867  TopOpenctopn 16003  0gc0g 16021  fldccnfld 19665  ocvcocv 19923  CSubSpccss 19924  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  TopSpctps 20619  Clsdccld 20730   Cn ccn 20938  Hauscha 21022  NrmGrpcngp 22292  NrmModcnlm 22295  ℂModcclm 22770  ℂPreHilccph 22874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lmhm 18941  df-lvec 19022  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-phl 19890  df-ipf 19891  df-ocv 19926  df-css 19927  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-t1 21028  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-tng 22299  df-nlm 22301  df-clm 22771  df-cph 22876  df-tch 22877
This theorem is referenced by:  cldcss  23120
  Copyright terms: Public domain W3C validator