Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ctbnfien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ctbnfien 37801
Description: An infinite subset of a countable set is countable, without using choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ctbnfien (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝑌)

Proof of Theorem ctbnfien
StepHypRef Expression
1 isfinite 8662 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
21notbii 309 . . . 4 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3 relen 8077 . . . . . . . . . . 11 Rel ≈
43brrelexi 5267 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≈ ω → 𝑋 ∈ V)
5 ssdomg 8118 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ V → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴𝑋))
7 domen2 8219 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴 ≼ ω))
86, 7sylibd 229 . . . . . . . 8 (𝑋 ≈ ω → (𝐴𝑋𝐴 ≼ ω))
98imp 444 . . . . . . 7 ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ≼ ω)
10 brdom2 8102 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω ↔ (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
119, 10sylib 208 . . . . . 6 ((𝑋 ≈ ω ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
1211adantlr 753 . . . . 5 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 ≺ ω ∨ 𝐴 ≈ ω))
1312ord 391 . . . 4 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
142, 13syl5bi 232 . . 3 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ 𝐴𝑋) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ ω))
1514impr 650 . 2 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ≈ ω)
16 enen2 8217 . . 3 (𝑌 ≈ ω → (𝐴𝑌𝐴 ≈ ω))
1716ad2antlr 765 . 2 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → (𝐴𝑌𝐴 ≈ ω))
1815, 17mpbird 247 1 (((𝑋 ≈ ω ∧ 𝑌 ≈ ω) ∧ (𝐴𝑋 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680   class class class wbr 4760  ωcom 7182  cen 8069  cdom 8070  csdm 8071  Fincfn 8072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076
This theorem is referenced by:  fiphp3d  37802  irrapx1  37811
  Copyright terms: Public domain W3C validator